1、随机输入20个整数：1）删除第五个和第十个位置的整数后输出整数集合。2）输出排序后的整数集合。3）将数值10插入到排序后整数集中的合适位置。

为了实现这样的功能，你可以使用C语言结合标准库函数。首先，你需要定义一个数组接收用户输入的20个整数，然后删除指定位置的元素，再对剩下的元素进行排序，最后插入新的数字。这里是一个简单的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h> // 使用此头文件生成随机数

// 生成随机整数
int random_int() {
    return rand() % 100 + 1; // 生成1到100之间的随机数
}

// 主函数
int main() {
    srand(time(0)); // 初始化随机数种子
    int numbers[20];
    int i;

    // 输入20个随机整数
    printf("Enter 20 integers: ");
    for (i = 0; i < 20; ++i) {
        scanf("%d", &numbers[i]);
    }

    // 删除第五个和第十个元素
    if (i >= 5 && i <= 9) {
        numbers[--i] = numbers[--i]; // 将第10个元素移到第9个位置
    }
    if (i >= 4) {
        numbers[--i] = numbers[--i]; // 将第5个元素移到第4个位置
    }

    // 输出删除后的数组
    printf("After deleting the 5th and 10th positions: ");
    for (i = 0; i < 18; ++i) { // 注意数组长度变为18
        printf("%d ", numbers[i]);
    }

    // 对数组进行排序
    qsort(numbers, 18, sizeof(int), compare); // 假设compare是自定义的比较函数
    printf("\nSorted array: ");
    for (i = 0; i < 18; ++i) {
        printf("%d ", numbers[i]);
    }

    // 插入10到排序后的合适位置
    int insert_index = binary_search(numbers, 18, 10); // 假设binary_search是二分查找函数
    if (insert_index != -1) {
        memmove(&numbers[insert_index + 1], &numbers[insert_index], sizeof(int) * (18 - insert_index));
        numbers[insert_index] = 10;
        printf("\nArray after inserting 10 at the correct position: ");
        for (i = 0; i < 19; ++i) {
            printf("%d ", numbers[i]);
        }
    } else {
        printf("\n10 not inserted as it's already in the array.\n");
    }

    return 0;
}

在这个例子中，我们假设你已经实现了`compare()`函数用于比较整数排序，以及`binary_search()`函数用于找到插入位置。这两个函数不在上述代码中。