对灰度图像二维傅立叶变换

对于灰度图像的二维傅立叶变换，可以分为以下几个步骤：

1. 将灰度图像进行补零，使其大小变为 $2^m \times 2^n$，其中 $m$ 和 $n$ 为正整数。

2. 对补零后的图像进行中心化处理，即将图像的中心移动到图像的左上角。

3. 对中心化后的图像进行二维傅立叶变换，得到频域图像。

4. 对频域图像进行中心化处理，即将频域图像的中心移动到频域图像的左上角。

5. 对中心化后的频域图像进行逆二维傅立叶变换，得到空域图像。

下面是 Python 代码示例：

import numpy as np
import cv2

# 读取灰度图像
img = cv2.imread('lena.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 补零，使图像大小为 512x512
rows, cols = img.shape
m = np.ceil(np.log2(rows)).astype(int)
n = np.ceil(np.log2(cols)).astype(int)
padded = np.zeros((2**m, 2**n), dtype=np.float32)
padded[:rows, :cols] = img

# 中心化处理
centered = np.zeros_like(padded)
for i in range(2**m):
    for j in range(2**n):
        centered[i, j] = (-1)**(i+j) * padded[i, j]

# 二维傅立叶变换
freq = np.fft.fft2(centered)

# 中心化处理
centered_freq = np.zeros_like(freq)
for i in range(2**m):
    for j in range(2**n):
        centered_freq[i, j] = (-1)**(i+j) * freq[i, j]

# 逆二维傅立叶变换
restored_centered = np.fft.ifft2(centered_freq).real

# 去掉补零的部分，得到原始大小的图像
restored = restored_centered[:rows, :cols]

# 显示图像
cv2.imshow('Original', img)
cv2.imshow('Restored', restored.astype(np.uint8))
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()