Edmonds-Johnson算法

Edmonds-Johnson算法，也称为“强连通分量分解算法”，是一种用于寻找有向图中强连通分量的算法。它的时间复杂度为 $O(V^2)$ 或者 $O(VE)$，其中 $V$ 为节点数，$E$ 为边数。

该算法的基本思想是：首先对原图进行拓扑排序，然后对拓扑序列中的每个节点，将与该节点相连的所有节点标记为同一强连通分量。最终，所有标记相同的节点即为一个强连通分量。

具体实现时，可以使用深度优先搜索（DFS）来遍历图，并记录每个节点被遍历的次序和能够到达的最小次序（low）。对于每个节点，如果它的最小次序等于自身次序，则该节点为一个强连通分量的根节点，从该节点开始的所有遍历都属于同一强连通分量。

总的来说，Edmonds-Johnson算法是一种有效的寻找强连通分量的算法，但是在实际应用中，常常被其他更加高效的算法所取代。

相关问题

请给出Edmonds-Johnson算法的完整代码，为连通图复制平行边使其成为欧拉图

以下是使用Edmonds-Johnson算法求解欧拉图的Python代码：

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self):
        self.graph = defaultdict(list)
        self.V = 0

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w))
        self.V += 1

    def bellman_ford(self, start):
        dist = [float("inf")] * self.V
        dist[start] = 0

        for i in range(self.V - 1):
            for u in range(self.V):
                for v, w in self.graph[u]:
                    if dist[u] != float("inf") and dist[u] + w < dist[v]:
                        dist[v] = dist[u] + w

        return dist

    def dijkstra(self, start, visited):
        dist = [float("inf")] * self.V
        dist[start] = 0

        while True:
            min_dist = float("inf")
            for v in range(self.V):
                if not visited[v] and dist[v] < min_dist:
                    min_dist = dist[v]
                    u = v

            if min_dist == float("inf"):
                break

            visited[u] = True

            for v, w in self.graph[u]:
                if not visited[v] and dist[u] + w < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + w

        return dist

    def find_shortest_path(self, start, end, visited):
        if start == end:
            return [start]

        path = []
        visited[start] = True

        for v, w in self.graph[start]:
            if not visited[v]:
                dist = self.dijkstra(v, visited)
                if dist[end] != float("inf"):
                    sub_path = self.find_shortest_path(v, end, visited)
                    if sub_path:
                        path.append(start)
                        path.extend(sub_path)
                        return path

        return None

    def add_path(self, path):
        for i in range(len(path) - 1):
            u, v = path[i], path[i + 1]
            for j in range(len(self.graph[u])):
                if self.graph[u][j][0] == v:
                    self.graph[u][j] = (v, 2)
                    break
            else:
                self.graph[u].append((v, 2))

            for j in range(len(self.graph[v])):
                if self.graph[v][j][0] == u:
                    self.graph[v][j] = (u, 2)
                    break
            else:
                self.graph[v].append((u, 2))

    def eulerian(self):
        odd_vertices = []
        for v in range(self.V):
            if len(self.graph[v]) % 2 != 0:
                odd_vertices.append(v)

        if odd_vertices:
            start = odd_vertices[0]
            end = odd_vertices[-1]
            dist = self.bellman_ford(start)
            path = self.find_shortest_path(start, end, [False] * self.V)
            if path:
                self.add_path(path)
            else:
                for v in odd_vertices[1:]:
                    dist = self.dijkstra(v, [False] * self.V)
                    path = self.find_shortest_path(start, v, [False] * self.V)
                    if path:
                        self.add_path(path)
                        path = self.find_shortest_path(v, end, [False] * self.V)
                        if path:
                            self.add_path(path)
                            break

        visited = [False] * self.V
        self.dfs(0, visited)

    def dfs(self, v, visited):
        visited[v] = True
        for u, w in self.graph[v]:
            if not visited[u]:
                self.dfs(u, visited)

其中，`Graph`类表示一个加权无向图，使用字典实现了邻接表来存储图的结构。算法主要分为以下几个步骤：

1. 找到所有度数为奇数的顶点，如果存在，则选择第一个和最后一个奇数度数的顶点作为起点和终点。
2. 如果存在起点和终点，则使用Bellman-Ford算法计算起点到所有顶点的最短路径，然后使用Dijkstra算法计算起点到终点的最短路径，并将其添加到图中。
3. 如果不存在起点和终点，则对于每个奇数度数的顶点，使用Dijkstra算法计算它与起点的最短路径，并将它们连接在一起，同时使用Dijkstra算法计算它与终点的最短路径，并将它们连接在一起。
4. 最后，使用深度优先搜索遍历欧拉图，并输出欧拉回路。

这段代码的时间复杂度为$O(V^3)$，其中V是顶点数量。