admm算法matlab

ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)算法是一种优化算法，用于解决凸优化问题并具有广泛的应用领域。它可以有效地解决存在约束条件的问题，如稀疏表示、Lasso等。

在MATLAB中，可以使用“admm_solver”函数来实现ADMM算法。该函数的输入参数包括目标函数、约束条件、罚函数参数等。使用此函数可以解决线性和非线性的凸优化问题。

此外，MATLAB还提供了其他ADMM相关函数，例如“cvx_create_problem”、“cvx_begin”、“cvx_optimize”等。这些函数可以在解决ADMM问题时利用MATLAB的优化工具箱。

总之，ADMM算法在MATLAB中的实现非常简单，并且可以应用于各种凸优化问题。通过使用MATLAB的优化工具箱，可以轻松地解决ADMM问题，并获得准确、高效的优化结果。

相关问题

ADMM算法matlab算法

### ADMM算法在Matlab中的实现

ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers），即交替方向乘子法，是一种用于解决大规模凸优化问题的有效方法。该方法通过引入辅助变量和拉格朗日乘子来分解复杂的目标函数，从而使得原问题可以被更高效地求解。

#### ADMM基本原理
ADMM的核心思想在于将原始的大规模约束最优化问题转化为一系列较小的子问题，并利用增广拉格朗日函数来进行迭代更新。对于给定的一个标准形式的线性规划问题：

\[
\begin{aligned}
& \underset{x}{\text{minimize}}
& & f(x)+g(z) \\
& \text{subject to} && Ax+Bz=c,
\end{aligned}
\]

其中 \(f\) 和 \(g\) 是闭合且适当扩展实值函数；\(A, B\) 为矩阵；而向量 \(c\) 表示常数项，则对应的ADMM更新规则如下所示[^1]:

- **x-update**: 对于固定的 \(z^{k}\)，以及当前估计的拉格朗日乘子 \(\lambda ^ { k }\), 解决下列二次规划问题得到新的 \(x^{(k+1)}\):

\[ x^{(k+1)}=\arg \min _{x}(f(x)+(ρ / 2)\|Ax+B z^{(k)}-(c-\frac{\lambda^{(k)}}{\rho}) \|_{2}^{2}) \]

- **z-update**: 类似地，在固定住最新的 \(x^{(k+1)}\) 后计算下一个 \(z^{(k+1)}\)

\[ z^{(k+1)}= \operatorname*{arg min}_{z} g(z)+(ρ/2)\left\|\mathrm{~B} z+c-A x^{(k+1)}+\frac{\lambda^{(k)}}{\rho}\right\|_{2}^{2} \]

- **dual update (拉格朗日乘子)**:

\[ λ^{(k+1)}=λ^{(k)}+ ρ(Ax^{(k+1)} + Bz^{(k+1)}− c ) \]

这里 \(\rho>0\) 称作惩罚参数，它控制着违反约束条件的成本大小。

#### Matlab代码示例

下面给出一段简单的MATLAB代码片段，展示了如何使用上述提到的方法去处理具体的优化任务。这段代码实现了普通的高斯-赛德尔迭代版本的ADMM算法[^2]。

function [X,Z,LAMBDA,obj_history,r_norm,s_norm,eps_pri,eps_dual] = admm_gauss_seidel()
% 初始化输入数据...
n = ...; m = ...;
A = rand(m,n); b = A * ones(n,1);
MAX_ITER = 1000; ABSTOL = 1e-4; RELTOL = 1e-2;

% 定义目标函数及其梯度
fun_f = @(x)(sum((abs(x)).^2)/2); % 假设f(x)=||x||²/2作为例子
grad_fun_f = @(x)x;

% 初始设置
rho = 1;
Z = zeros(size(b)); LAMBDA = Z;
obj_history = []; r_norm = []; s_norm = [];
eps_pri = []; eps_dual = [];

for k = 1:MAX_ITER
    
    % 更新 X
    X = proximal_operator(@(u)(fun_f(u) ...
        + rho/2 * norm(A*u - b + Z - LAMBDA/rho)^2),zeros(n,1));

    % 更新 Z 使用 Gauss-Seidel 方式
    for i = 1:m
        temp(i) = soft_thresholding(X(i)*A(i,:)'+LAMBDA(i)/rho,...
            abs(B(i,:))*inv(rho*B'*B));
    end
    Z = reshape(temp,m,[]);

    % 更新 Lambda
    LAMBDA = LAMBDA + rho*(A*X - b + Z);

    % 记录历史记录以便后续分析收敛情况
    obj_history(k) = fun_f(X) + sum(abs(Z));
    r_norm(k) = norm(A*X-b+Z,'fro');
    s_norm(k) = norm(-rho*A'*(Z-Z_prev),'fro');

    eps_pri(k) = sqrt(length(b)) * ABSTOL + RELTOL * max(norm(A*X,'fro'),norm(Z,'fro'));
    eps_dual(k) = sqrt(length(b)) * ABSTOL + RELTOL * norm(rho*A','fro') * norm(LAMBDA-LAMBDA_prev,'fro');

    if all([r_norm(k)<eps_pri(k),s_norm(k)<eps_dual(k)])
        break;
    end
end

plot(obj_history,'.-'); title('Objective Value vs Iteration Number');
xlabel('Iteration number'); ylabel('Value of objective function')

function y = proximal_operator(f,x)
    options.MaxIter = 500;
    [~,y] = quadprog(diag(repmat(eye(numel(x)),size(x))),[],[],[],[],[],lb,[],ub,f,options);
end

function out = soft_thresholding(a,kappa)
    out = sign(a).*max(abs(a)-kappa,0);
end

此段代码仅提供了一个基础框架，实际应用时需根据具体应用场景调整相应的部分，比如定义不同的 `fun_f` 函数代表特定的任务需求等。

admm算法matlab代码

以下是ADMM算法的Matlab代码示例：

function [x, history] = admm(A, b, rho, alpha)
% ADMM solver for the following problem:
%
%   minimize || Ax - b ||_2^2 + alpha || x ||_1
%
% The input parameters are:
% A     - a matrix
% b     - a vector
% rho   - the penalty parameter
% alpha - the regularization parameter
%
% The output values are:
% x       - the solution of the problem
% history - a struct containing the objective value and other information

[m, n] = size(A);

% ADMM solver
x = zeros(n, 1);
z = zeros(n, 1);
u = zeros(n, 1);

% Precompute
L = chol(2 * rho * (A' * A) + eye(n), 'lower');

% Start ADMM iterations
MAX_ITER = 1000;
ABSTOL = 1e-4;
RELTOL = 1e-2;

for iter = 1:MAX_ITER

    % x-update
    q = A' * b + rho * (z - u);    % temporary value
    x = L \ (L' \ q);

    % z-update with relaxation
    zold = z;
    x_hat = alpha / rho * x + (1 - alpha / rho) * zold;
    z = shrinkage(x_hat + u, 1 / rho);

    % u-update
    u = u + (x_hat - z);

    % diagnostics, reporting, termination checks
    history.objval(iter) = objective(A, b, alpha, x, z);

    history.r_norm(iter) = norm(x - z);
    history.s_norm(iter) = norm(-rho * (z - zold));

    history.eps_pri(iter) = sqrt(n) * ABSTOL + RELTOL * max(norm(x), norm(-z));
    history.eps_dual(iter) = sqrt(n) * ABSTOL + RELTOL * norm(rho * u);

    if (history.r_norm(iter) < history.eps_pri(iter) && ...
       history.s_norm(iter) < history.eps_dual(iter))
         break;
    end

end

end

function obj = objective(A, b, alpha, x, z)
obj = norm(A * x - b)^2 / 2 + alpha * norm(z, 1);
end

function y = shrinkage(x, kappa)
y = max(0, x - kappa) - max(0, -x - kappa);
end

此代码实现了ADMM求解以下问题：

$$\min_{x}\frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2+\alpha\|x\|_1$$

其中，$A$是一个$m\times n$的矩阵，$b$是一个$m$维向量，$\alpha$是正则化参数，$x$是一个$n$维向量。