欧拉角、方向余弦、四元数解算姿态的优缺点

欧拉角、方向余弦和四元数是常用的姿态表示方法，它们各有优缺点：

1. 欧拉角：
优点：直观易理解，可以通过三个角度表示物体的旋转姿态，适用于人类交互和可视化。
缺点：存在万向锁问题，当其中一个角度接近90度时，会导致姿态的奇异性和计算困难。

2. 方向余弦矩阵（方向余弦）：
优点：无奇异性，能够准确描述物体的旋转姿态。
缺点：计算复杂度较高，存在数值稳定性问题，可能出现误差累积。

3. 四元数：
优点：无奇异性，能够高效地表示旋转姿态，避免了万向锁问题。
缺点：相对于欧拉角和方向余弦，四元数不直观，难以理解和可视化。

选择适当的姿态表示方法取决于具体应用的需求。如果需要直观理解和可视化，欧拉角可能是较好的选择。如果需要精确的姿态计算，方向余弦或四元数可能更合适。在实际应用中，也可以将不同的方法结合使用，根据需求进行转换和优化。

相关问题

欧拉角四元数方向余弦矩阵之间的转换

### 欧拉角、四元数和方向余弦矩阵之间的数学转换

#### 从欧拉角到四元数的转换
设给定一组绕Z轴-Y轴-X轴旋转的欧拉角分别为ψ(偏航), θ(俯仰), φ(滚转)，则对应的四元数q可表示为：

\[ q = \begin{bmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos(\phi/2)\cos(\theta/2)\cos(\psi/2)+\sin(\phi/2)\sin(\theta/2)\sin(\psi/2) \\
\sin(\phi/2)\cos(\theta/2)\cos(\psi/2)-\cos(\phi/2)\sin(\theta/2)\sin(\psi/2) \\
\cos(\phi/2)\sin(\theta/2)\cos(\psi/2)+\sin(\phi/2)\cos(\theta/2)\sin(\psi/2) \\
\cos(\phi/2)\cos(\theta/2)\sin(\psi/2)-\sin(\phi/2)\sin(\theta/2)\cos(\psi/2)
\end{bmatrix} \]

此表达式展示了如何由三个独立的角度构建一个描述物体方位变化的四元数值[^1]。

#### 从四元数到方向余弦矩阵(DCM)的转换
对于任意单位四元数 \( q=[w,x,y,z]^T \)，其对应的方向余弦矩阵可通过下述关系获得:

\[ C =
\begin{pmatrix}
1 - 2(y^{2} + z^{2}) & 2(xy - wz) & 2(xz + wy) \\
2(xy + wz) & 1 - 2(x^{2} + z^{2}) & 2(yz - wx) \\
2(xz - wy) & 2(yz + wx) & 1 - 2(x^{2} + y^{2})
\end{pmatrix}\]

这里C即为我们所寻求的方向余弦矩阵，它能够有效地表征两个坐标系间的相对定向关系。

#### 从方向余弦矩阵到欧拉角的转换
当已知方向余弦矩阵\( C_{i,j} \)，可以通过下面给出的一组公式计算出相应的欧拉角度数：

\[ \tan{\phi}=\frac{-c_{3,2}}{c_{3,3}},\quad
\tan{\theta}=-\frac{c_{3,1}}{\sqrt{(c_{3,2})^2+(c_{3,3})^2}},\quad
\tan{\psi}=+\frac{c_{2,1}}{c_{1,1}}
\]

需要注意的是，在某些特殊情况下（比如奇异位置），上述公式的应用可能会遇到除零错误等问题；此时应采取适当措施加以规避或处理[^4]。

function [eulerAngles] = dcmToEuler(dcm)
    phi = atan2d(-dcm(3,2), dcm(3,3));
    theta = asind(-90°,+90°]
    psi = atan2d(dcm(2,1), dcm(1,1));

    eulerAngles = [phi; theta; psi];
end

用c语言实现欧拉角、方向余弦矩阵、四元数之间的转化

欧拉角、方向余弦矩阵、四元数之间的转化可以通过一系列矩阵运算实现。下面是用C语言实现的代码：

1. 欧拉角转方向余弦矩阵

#include <math.h>

void euler2dcm(double roll, double pitch, double yaw, double dcm[3][3])
{
    double cr, sr, cp, sp, cy, sy;

    cr = cos(roll);
    sr = sin(roll);
    cp = cos(pitch);
    sp = sin(pitch);
    cy = cos(yaw);
    sy = sin(yaw);

    dcm[0][0] = cp * cy;
    dcm[0][1] = cp * sy;
    dcm[0][2] = -sp;
    dcm[1][0] = sr * sp * cy - cr * sy;
    dcm[1][1] = sr * sp * sy + cr * cy;
    dcm[1][2] = sr * cp;
    dcm[2][0] = cr * sp * cy + sr * sy;
    dcm[2][1] = cr * sp * sy - sr * cy;
    dcm[2][2] = cr * cp;
}

2. 方向余弦矩阵转欧拉角

#include <math.h>

void dcm2euler(double dcm[3][3], double *roll, double *pitch, double *yaw)
{
    double cp = sqrt(dcm[0][0] * dcm[0][0] + dcm[1][0] * dcm[1][0]);
    if (cp > 1e-16) {
        *roll = atan2(dcm[2][1], dcm[2][2]);
        *pitch = atan2(-dcm[2][0], cp);
        *yaw = atan2(dcm[1][0], dcm[0][0]);
    } else {
        *roll = atan2(-dcm[1][2], dcm[1][1]);
        *pitch = atan2(-dcm[2][0], cp);
        *yaw = 0;
    }
}

3. 方向余弦矩阵转四元数

#include <math.h>

void dcm2quat(double dcm[3][3], double q[4])
{
    double tr = dcm[0][0] + dcm[1][1] + dcm[2][2];
    if (tr > 0) {
        double s = sqrt(tr + 1.0) * 2;
        q[0] = (dcm[2][1] - dcm[1][2]) / s;
        q[1] = (dcm[0][2] - dcm[2][0]) / s;
        q[2] = (dcm[1][0] - dcm[0][1]) / s;
        q[3] = 0.25 * s;
    } else if ((dcm[0][0] > dcm[1][1]) && (dcm[0][0] > dcm[2][2])) {
        double s = sqrt(1.0 + dcm[0][0] - dcm[1][1] - dcm[2][2]) * 2;
        q[0] = 0.25 * s;
        q[1] = (dcm[0][1] + dcm[1][0]) / s;
        q[2] = (dcm[0][2] + dcm[2][0]) / s;
        q[3] = (dcm[2][1] - dcm[1][2]) / s;
    } else if (dcm[1][1] > dcm[2][2]) {
        double s = sqrt(1.0 + dcm[1][1] - dcm[0][0] - dcm[2][2]) * 2;
        q[0] = (dcm[0][1] + dcm[1][0]) / s;
        q[1] = 0.25 * s;
        q[2] = (dcm[1][2] + dcm[2][1]) / s;
        q[3] = (dcm[0][2] - dcm[2][0]) / s;
    } else {
        double s = sqrt(1.0 + dcm[2][2] - dcm[0][0] - dcm[1][1]) * 2;
        q[0] = (dcm[0][2] + dcm[2][0]) / s;
        q[1] = (dcm[1][2] + dcm[2][1]) / s;
        q[2] = 0.25 * s;
        q[3] = (dcm[1][0] - dcm[0][1]) / s;
    }
}

4. 四元数转方向余弦矩阵

void quat2dcm(double q[4], double dcm[3][3])
{
    double q0q0 = q[0] * q[0];
    double q0q1 = q[0] * q[1];
    double q0q2 = q[0] * q[2];
    double q0q3 = q[0] * q[3];
    double q1q1 = q[1] * q[1];
    double q1q2 = q[1] * q[2];
    double q1q3 = q[1] * q[3];
    double q2q2 = q[2] * q[2];
    double q2q3 = q[2] * q[3];
    double q3q3 = q[3] * q[3];

    dcm[0][0] = q0q0 + q1q1 - q2q2 - q3q3;
    dcm[0][1] = 2 * (q1q2 - q0q3);
    dcm[0][2] = 2 * (q1q3 + q0q2);
    dcm[1][0] = 2 * (q1q2 + q0q3);
    dcm[1][1] = q0q0 - q1q1 + q2q2 - q3q3;
    dcm[1][2] = 2 * (q2q3 - q0q1);
    dcm[2][0] = 2 * (q1q3 - q0q2);
    dcm[2][1] = 2 * (q2q3 + q0q1);
    dcm[2][2] = q0q0 - q1q1 - q2q2 + q3q3;
}

注意：在C语言中，多维数组的内存布局是连续的，因此可以将二维数组看作一维数组来访问元素。在上面的代码中，我们将dcm数组声明为3x3的二维数组，但在函数中使用时，将其看作一个长度为9的一维数组来访问元素。