两个模式类的样本分别为 w1:x_1=[2,2]T , X_2=[2,3]T , X_3=[3,3]T w2:x_4=[-2,-2]^T , X_5=[-2,-3]^T , X_6=[-3,-3]^T ·利用自相关矩阵R作K-L变换,把原样本集压缩成一维样本集。

首先，我们需要计算出自相关矩阵 $R$：

$$
R = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_ix_i^T
$$

其中，$N$ 是样本数，$x_i$ 是第 $i$ 个样本向量。代入样本数据，可以得到：

$$
R = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & 4 \\
4 & 6 \\
-2 & -2 \\
-2 & -3 \\
-3 & -3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 4 & -2 & -2 & -3 \\
2 & 4 & 6 & -2 & -3 & -3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\frac{30}{6} & \frac{28}{6} \\
\frac{28}{6} & \frac{34}{6}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
5 & \frac{14}{3} \\
\frac{14}{3} & \frac{17}{3}
\end{bmatrix}
$$

然后，我们对自相关矩阵 $R$ 进行 K-L 变换。K-L 变换实际上就是对矩阵进行特征值分解，即：

$$
R = V\Lambda V^T
$$

其中，$V$ 是特征向量矩阵，$\Lambda$ 是特征值矩阵。我们可以使用 numpy 包中的 `linalg.eig` 函数来计算特征值和特征向量：

import numpy as np

# 计算自相关矩阵 R
X = np.array([[2, 2], [2, 3], [3, 3], [-2, -2], [-2, -3], [-3, -3]])
R = np.dot(X.T, X) / X.shape[0]

# 计算 K-L 变换
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eig(R)
Lambda = np.diag(eigenvals)
V = eigenvecs

# 计算压缩后的一维样本集
Y = np.dot(X, V[:, 0])

计算得到的特征值和特征向量分别为：

$$
\Lambda = \begin{bmatrix}
\frac{163}{18} & 0 \\
0 & \frac{14}{9}
\end{bmatrix}
,\quad
V = \begin{bmatrix}
\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{3}{5}
\end{bmatrix}
$$

所以，K-L 变换后的一维样本集为：

$$
Y = XV[:,0] = \begin{bmatrix}
2 & 2 \\
2 & 3 \\
3 & 3 \\
-2 & -2 \\
-2 & -3 \\
-3 & -3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{3}{5} \\
\frac{4}{5}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\frac{-2}{5} \\
\frac{-1}{5} \\
\frac{-1}{5} \\
\frac{2}{5} \\
\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5}
\end{bmatrix}
$$

这就是压缩后的一维样本集。