要求采用Newton插值： (a) 采用线性插值。（15分）

Newton插值中的线性插值公式为：

$$
P_1(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)
$$

其中，$f[x_0]$表示插值点$f(x)$在$x_0$处的函数值，$f[x_0,x_1]$表示插值点$f(x)$在$x_0$和$x_1$处的差商，$x_0$和$x_1$是已知插值点。

若要在区间$[a,b]$上对$f(x)$进行线性插值，则需要选择两个插值点$x_0=a$和$x_1=b$。则线性插值公式为：

$$
P_1(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
$$

其中，$f(a)$和$f(b)$分别为$f(x)$在$a$和$b$处的函数值，$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$为$f(x)$在$[a,b]$上的平均斜率。

因此，采用Newton插值进行线性插值的步骤为：

1. 确定插值区间$[a,b]$和插值点$x_0=a$和$x_1=b$；
2. 计算$f(x)$在$a$和$b$处的函数值$f(a)$和$f(b)$；
3. 计算$f(x)$在$[a,b]$上的平均斜率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$；
4. 带入线性插值公式$P_1(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，得到插值多项式$P_1(x)$。

最终得到的插值多项式$P_1(x)$即为在区间$[a,b]$上的线性插值函数。

相关问题

Newton插值 用线性差值 用Python

以下是使用Python实现Newton插值的示例代码：

import numpy as np

def newton_interpolation(x, y, z):
    # 计算差商表
    n = len(x)
    f = np.zeros([n, n])
    f[:, 0] = y
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, i + 1):
            f[i][j] = (f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j])
    
    # 计算插值多项式的值
    p = f[0][0]
    for i in range(1, n):
        term = f[i][i]
        for j in range(i):
            term *= (z - x[j])
        p += term
    
    return p

# 测试
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2.1, 7.7, 13.6, 27.2, 40.9, 61.1])
z = 2.5
p = newton_interpolation(x, y, z)
print("插值多项式在z = {}处的值为：".format(z), p)

输出结果为：

插值多项式在z = 2.5处的值为： 10.85

其中，输入的参数`x`为插值节点的横坐标，`y`为插值节点的纵坐标，`z`为要求插值多项式在哪个点处的值。函数返回插值多项式在`z`处的值。

newton向前向后插值程序matlab

牛顿向前向后插值程序是在MATLAB中用于进行插值计算的一种方法。牛顿插值法是一种多项式插值法，它通过已知数据点的函数值来构造一个多项式，并利用该多项式来估计未知点的函数值。

牛顿向前向后插值程序的基本步骤如下：

1. 首先需要给定一组已知数据点的横纵坐标值，例如x和y。这些数据点可以是实验结果、经验数据或者其他已知的数值。

2. 然后，根据已知数据点，使用差商表格的方法计算出牛顿插值多项式的系数。差商表格是一个递推的过程，将插值点的函数值与次数递增的差商相结合。

3. 根据已知数据点和插值多项式的系数，构造出牛顿插值多项式。牛顿插值多项式可以表示为关于插值点的线性组合。

4. 最后，利用插值多项式来计算未知点的函数值。对于牛顿向前插值，未知点位于已知数据点之前；对于牛顿向后插值，未知点位于已知数据点之后。

在MATLAB中，可以使用以下代码来实现牛顿向前向后插值的计算：

function [y_interp] = newton_interpolation(x, y, x_interp)
n = length(x);
coeffs = zeros(n, n);

% 计算差商表格
coeffs(:, 1) = y';
for j = 2:n
    for i = j:n
        coeffs(i, j) = (coeffs(i, j-1) - coeffs(i-1, j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));
    end
end

% 构造插值多项式并计算函数值
y_interp = zeros(size(x_interp));
for k = 1:length(x_interp)
    interp_poly = 1;
    for j = 2:n
        interp_poly = interp_poly * (x_interp(k) - x(j-1));
        y_interp(k) = y_interp(k) + coeffs(j,j) * interp_poly;
    end
end

end

以上代码实现了一个用于牛顿向前插值和向后插值的MATLAB函数。可以根据给定的已知数据点(x, y)和待插值的点x_interp来得到相应的插值结果y_interp。通过调用函数`newton_interpolation`，可以实现牛顿向前向后插值的计算。