使用c++实现分别用 （1）基于拉格朗日插值法，利用线性插值和抛物线插值，求的近似值； （2）基于牛顿插值法（阅读课本P81-P84），利用线性插值和抛物线插值，求根号115的近似值； 要求：（a）利用程序自动选择在插值计算中所需要的节点；（b）把原始数据点以及得到的插值多项式函数曲线都绘制在MATLAB Figure里，便于观察插值效果。

以下是基于拉格朗日插值法和牛顿插值法的C++代码实现，包括自动选择节点和绘制曲线的功能。需要注意的是，本代码仅供参考，可能存在漏洞和不足，建议仔细阅读并自行测试验证。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <fstream>
#include "mat.h" // MATLAB engine头文件

using namespace std;

// 拉格朗日插值法
double lagrange_interp(double x, vector<double>& x_data, vector<double>& y_data) {
    double y = 0;
    int n = x_data.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double l = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                l *= (x - x_data[j]) / (x_data[i] - x_data[j]);
            }
        }
        y += l * y_data[i];
    }
    return y;
}

// 抛物线插值法
double parabolic_interp(double x, vector<double>& x_data, vector<double>& y_data) {
    int n = x_data.size();
    int i = 1;
    while (i < n && x_data[i] < x) {
        i++;
    }
    if (i == n) {
        i--;
    } else if (i > 1) {
        if (fabs(x - x_data[i]) > fabs(x - x_data[i - 1])) {
            i--;
        }
    }
    double x1 = x_data[i - 1], x2 = x_data[i], x3 = x_data[i + 1];
    double y1 = y_data[i - 1], y2 = y_data[i], y3 = y_data[i + 1];
    double f1 = (y2 - y1) / (x2 - x1);
    double f2 = ((y3 - y2) / (x3 - x2) - f1) / (x3 - x1);
    double y = y2 + f1 * (x - x2) + f2 * (x - x2) * (x - x3);
    return y;
}

// 牛顿插值法
double newton_interp(double x, vector<double>& x_data, vector<double>& y_data) {
    int n = x_data.size();
    vector<double> div(n); // 系数
    div[0] = y_data[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = n - 1; j >= i; j--) {
            y_data[j] = (y_data[j] - y_data[j - 1]) / (x_data[j] - x_data[j - i]);
        }
        div[i] = y_data[i];
    }
    double y = div[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        y = div[i] + (x - x_data[i]) * y;
    }
    return y;
}

// 自动选择节点
void select_nodes(int type, vector<double>& x_data, vector<double>& y_data) {
    int n = x_data.size();
    if (type == 1) { // 线性插值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            x_data[i] = 1.0 * i / (n - 1);
            y_data[i] = sin(2 * M_PI * x_data[i]);
        }
    } else if (type == 2) { // 抛物线插值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            x_data[i] = 2.0 * i / (n - 1) - 1;
            y_data[i] = 1 / (1 + 25 * x_data[i] * x_data[i]);
        }
    } else if (type == 3) { // 牛顿插值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            x_data[i] = -1.0 + 2.0 * i / (n - 1);
            y_data[i] = sqrt(115 + x_data[i] * x_data[i]);
        }
    }
}

// 绘制曲线
void plot_curve(vector<double>& x_data, vector<double>& y_data, string title) {
    int n = x_data.size();
    Engine* ep = engOpen(NULL);
    mxArray* x = mxCreateDoubleMatrix(1, n, mxREAL);
    mxArray* y = mxCreateDoubleMatrix(1, n, mxREAL);
    double* px = mxGetPr(x);
    double* py = mxGetPr(y);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        px[i] = x_data[i];
        py[i] = y_data[i];
    }
    engPutVariable(ep, "x", x);
    engPutVariable(ep, "y", y);
    engEvalString(ep, "plot(x, y, '-o');");
    engEvalString(ep, "grid on;");
    engEvalString(ep, ("title('" + title + "');").c_str());
    engEvalString(ep, "xlabel('x');");
    engEvalString(ep, "ylabel('y');");
    system("pause"); // 暂停等待
    engClose(ep);
}

int main() {
    int type = 1; // 插值类型：1-线性插值，2-抛物线插值，3-牛顿插值
    int n = 11; // 节点数
    double x0 = sqrt(115); // 待求点
    vector<double> x_data(n), y_data(n);
    select_nodes(type, x_data, y_data);
    double y_lagrange = lagrange_interp(x0, x_data, y_data);
    double y_parabolic = parabolic_interp(x0, x_data, y_data);
    double y_newton = newton_interp(x0, x_data, y_data);
    cout << "拉格朗日插值法：y(" << x0 << ") = " << y_lagrange << endl;
    cout << "抛物线插值法：y(" << x0 << ") = " << y_parabolic << endl;
    cout << "牛顿插值法：y(" << x0 << ") = " << y_newton << endl;
    plot_curve(x_data, y_data, "Interpolation");
    return 0;
}

在这里，我们使用了 MATLAB engine 来绘制曲线，需要将 MATLAB 安装目录下的 libeng.lib、libmx.lib、libmat.lib 复制到 Visual Studio 的 lib 目录下，并在项目属性中添加这三个库文件。同时，在 C++ 代码中引入 "mat.h" 头文件即可。如果不需要绘制曲线，可以将相关代码删除或注释。