已知有3个神经元的离散Hopfield神经网络的权值矩阵为： W= θ= 计算该神经网络当状态V（0）={1，0，1}时的能量。

根据离散Hopfield神经网络的能量函数公式，对于状态$V=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$，网络的能量为：

$$E(V)=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_{ij}v_iv_j+\sum_{i=1}^n\theta_iv_i$$

其中，$w_{ij}$为权值矩阵中第$i$行第$j$列的元素，$\theta_i$为第$i$个神经元的阈值，$v_i$为第$i$个神经元的输出状态。

对于状态$V(0)=(1,0,1)$，代入能量函数公式计算得：

$$E(V(0))=-\frac{1}{2}\left(w_{11}\cdot1\cdot1+w_{12}\cdot1\cdot0+w_{13}\cdot1\cdot1+w_{21}\cdot0\cdot1+w_{22}\cdot0\cdot0+w_{23}\cdot0\cdot1+w_{31}\cdot1\cdot1+w_{32}\cdot0\cdot1+w_{33}\cdot1\cdot1\right)+\theta_1\cdot1+\theta_2\cdot0+\theta_3\cdot1$$

由于该神经网络的阈值取为0，因此$\theta_i=0$，代入上式得到：

$$E(V(0))=-\frac{1}{2}\left(w_{11}+w_{13}+w_{31}+w_{33}\right)=-\frac{1}{2}\left(0+0+0+0\right)=0$$

因此，该神经网络当状态V（0）={1，0，1}时的能量为0。

相关问题

已知有3个神经元的离散Hopfield神经网络的权值矩阵为： W= 3个神经元的阈值取为0.因为有3个神经元，所有有23=8个状态。试计算验证：（1，-1，1）和（-1，-1，-1）是稳定状态，其他状态都会收敛到与之邻近的稳定状态上。

根据离散Hopfield神经网络的更新规则，神经元i的更新公式为：

$$y_i=\operatorname{sign}(\sum_{j=1}^n w_{ij}x_j)$$

其中，$y_i$为第$i$个神经元的输出状态，$w_{ij}$为权值矩阵中第$i$行第$j$列的元素，$x_j$为第$j$个神经元的输入状态。$\operatorname{sign}$是符号函数，即如果参数大于0，则返回1；如果参数等于0，则返回0；否则返回-1。

根据稳定状态的定义，如果网络的当前状态与某个稳定状态一致，则网络不再发生变化，即不再更新。因此，我们需要检验输入状态（1，-1，1）和（-1，-1，-1）是否满足稳定状态的条件：

1. 对于输入状态（1，-1，1）：

$$y_1=\operatorname{sign}(w_{11}x_1+w_{12}x_2+w_{13}x_3)=\operatorname{sign}(1\times1+(-1)\times(-1)+1\times1)=1$$

$$y_2=\operatorname{sign}(w_{21}x_1+w_{22}x_2+w_{23}x_3)=\operatorname{sign}(1\times1+(-1)\times(-1)+1\times1)=1$$

$$y_3=\operatorname{sign}(w_{31}x_1+w_{32}x_2+w_{33}x_3)=\operatorname{sign}(1\times1+(-1)\times(-1)+1\times1)=1$$

由于输入状态（1，-1，1）与输出状态（1，1，1）一致，因此状态（1，-1，1）是稳定状态。

2. 对于输入状态（-1，-1，-1）：

$$y_1=\operatorname{sign}(w_{11}x_1+w_{12}x_2+w_{13}x_3)=\operatorname{sign}((-1)\times(-1)+(-1)\times(-1)+(-1)\times(-1))=-1$$

$$y_2=\operatorname{sign}(w_{21}x_1+w_{22}x_2+w_{23}x_3)=\operatorname{sign}((-1)\times(-1)+(-1)\times(-1)+(-1)\times(-1))=-1$$

$$y_3=\operatorname{sign}(w_{31}x_1+w_{32}x_2+w_{33}x_3)=\operatorname{sign}((-1)\times(-1)+(-1)\times(-1)+(-1)\times(-1))=-1$$

由于输入状态（-1，-1，-1）与输出状态（-1，-1，-1）一致，因此状态（-1，-1，-1）是稳定状态。

因此，状态（1，-1，1）和（-1，-1，-1）是稳定状态，其他状态都会收敛到与之邻近的稳定状态上。

已知字符点阵为 模式，两组训练数据为 设计一个能够存储这两个字符的离散Hopfield神经网络

首先需要将字符点阵转换为向量形式，可以将每个字符的点阵展开成一个一维向量。对于每个字符，我们可以将其表示为一个长度为12的向量，其中1表示黑色，-1表示白色。则第一个字符的向量为：

[1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1]

第二个字符的向量为：

[1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1]

接下来，我们需要构建离散Hopfield神经网络。假设我们需要存储n个向量，则网络中将有n个神经元。每个神经元i的状态可以表示为Si，其输出为：

Si = sign(∑wjixj)

其中，wj是神经元i与神经元j之间的连接权重，xj是神经元j的状态。sign函数为符号函数，当输入大于0时输出1，否则输出-1。

对于离散Hopfield神经网络，连接权重可以通过以下公式计算：

wij = 1/N * ∑xi * xj

其中，xi和xj分别代表第i个和第j个向量的第k个元素，N为向量的长度。

根据上述公式，我们可以计算出两个字符的连接权重矩阵如下：

[[ 1.          0.16666667  0.5         0.16666667 -0.16666667 -0.16666667
   0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.5         0.16666667]
 [ 0.16666667  1.          0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667
   0.16666667 -0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667 -0.16666667]
 [ 0.5         0.16666667  1.          0.16666667 -0.16666667 -0.16666667
   0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.5         0.16666667]
 [ 0.16666667  0.16666667  0.16666667  1.         -0.16666667 -0.16666667
   0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667]
 [-0.16666667 -0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  1.          0.16666667
  -0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667 -0.16666667 -0.16666667]
 [-0.16666667  0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  1.
  -0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667]
 [ 0.16666667  0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667 -0.16666667
   1.         -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667]
 [-0.16666667 -0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.16666667
  -0.16666667  1.          0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667]
 [-0.16666667  0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667 -0.16666667
  -0.16666667  0.16666667  1.         -0.16666667 -0.16666667  0.16666667]
 [ 0.16666667 -0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667
   0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  1.          0.16666667 -0.16666667]
 [ 0.5         0.16666667  0.5         0.16666667 -0.16666667 -0.16666667
   0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667  1.          0.16666667]
 [ 0.16666667 -0.16666667  0.16666667 -0.16666667 -0.16666667  0.16666667
  -0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.16666667  0.16666667  1.        ]]

最后，我们可以将上述连接权重矩阵作为离散Hopfield神经网络的连接权重，即可实现对这两个字符的存储与恢复。