按时间抽取的基2快速傅立叶算法推导过程

按时间抽取的基2快速傅立叶算法的推导过程可以分为两个部分：第一部分是将FFT分解为多个级别，第二部分是对每个级别进行基2蝶形运算。

第一部分：

假设FFT的长度为N，可以将FFT分解为log2(N)个级别。在第k级别，将FFT的长度划分为2^k个子序列，每个子序列的长度为N/(2^k)。假设FFT输入的复数序列为x(n)，第k级别的输出为X_k(m)，其中n和m均为序列的下标。

在第0级别，输入为x(n)，输出为X_0(m)。根据傅立叶变换的定义，X_0(m)可以表示为：

X_0(m) = sum(x(n) * exp(-2πi * m * n / N)), n=0,1,...,N-1

在第1级别，输入序列可以分为两个子序列：偶数项序列x_e(n)和奇数项序列x_o(n)，其中：

x_e(n) = x(2n), n=0,1,...,N/2-1
x_o(n) = x(2n+1), n=0,1,...,N/2-1

对这两个子序列分别进行FFT变换，得到X_e(m)和X_o(m)。根据傅立叶变换的性质，可以得到：

X_k(m) = X_e(m) + exp(-2πi * m / N) * X_o(m)

其中，k表示级别，m表示序列的下标。

在第k级别，可以将输入序列分为2^k个子序列，每个子序列的长度为N/(2^k)，然后对每个子序列分别进行FFT变换，得到X_e(m)和X_o(m)，再按照上述公式得到X_k(m)。

第二部分：

每个级别的输出X_k(m)可以表示为两个部分的和：X_e(m)和exp(-2πi * m / N) * X_o(m)。这两个部分可以看成是一个基2蝶形运算（butterfly operation）的输出，其中：

X_e(m) = X_k(m) + X_k(m + N/2)
X_o(m) = (X_k(m) - X_k(m + N/2)) * exp(2πi * m / N)

对于每个级别，都需要进行N次基2蝶形运算，因此总共需要进行N log2(N)次基2蝶形运算。

综上所述，按时间抽取的基2快速傅立叶算法可以高效地计算离散傅立叶变换。