4．写出阶跃折射率光纤中的电场贝塞尔方程并给出对应纤芯和包层中的一组解，加以适当说明

阶跃折射率光纤可以看做是由两个折射率不同的区域组成，即纤芯和包层。在光纤中，电场服从波动方程，可以通过电场贝塞尔方程来描述。

电场贝塞尔方程的一般形式为：

$$\nabla_T^2 E_T + k^2 n^2(r) E_T = 0$$

其中，$\nabla_T^2$是横向拉普拉斯算符，$k$是波矢量，$n(r)$是光纤中的折射率分布函数。

对于阶跃折射率光纤，折射率分布函数为：

$$n(r) = \begin{cases}n_1, & r < a \\ n_2, & r \geq a \end{cases}$$

其中，$n_1$和$n_2$分别是纤芯和包层的折射率，$a$是纤芯半径。

将折射率分布函数代入电场贝塞尔方程中，可以得到阶跃折射率光纤中的电场贝塞尔方程：

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial E_T}{\partial r} \right) + \left( k^2 n_1^2 - \beta^2 \right) E_T = 0, \quad r < a$$

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial E_T}{\partial r} \right) + k^2 n_2^2 E_T = 0, \quad r \geq a$$

其中，$\beta$是横向波矢量，可以通过边界条件来确定。

对于纤芯中的电场，可以假设其为类似于氢原子的球谐函数形式：

$$E_T(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} A_l J_l(\beta r) P_l(\cos\theta), \quad r < a$$

其中，$J_l$是第一类贝塞尔函数，$P_l$是勒让德多项式，$A_l$是待定系数。

对于包层中的电场，可以假设其为指数衰减函数形式：

$$E_T(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} B_l H_l^{(1)}(\gamma r) P_l(\cos\theta), \quad r \geq a$$

其中，$H_l^{(1)}$是第一类汉克尔函数，$\gamma = \sqrt{k^2 n_2^2 - \beta^2}$，$B_l$是待定系数。

需要注意的是，由于阶跃折射率光纤具有轴对称性，因此只需要考虑$E_T$的径向分量。