反三角函数幂集展开式求π
时间: 2024-06-06 10:08:02 浏览: 12
我们知道,反三角函数可以用幂级数展开来表示。例如,反正切函数可以表示为:
$$\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$$
反正弦函数和反余弦函数也有类似的展开式。
现在考虑以下的幂级数展开式:
$$\frac{\pi}{4}=\arctan\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{7}\right)$$
我们可以分别将 $\arctan(\frac{1}{2})$ 和 $\arctan(\frac{1}{7})$ 展开成幂级数:
$$\arctan\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}$$
$$\arctan\left(\frac{1}{7}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{7}\right)^{2n+1}$$
将它们代入上式,我们得到:
$$\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{7}\right)^{2n+1}$$
化简得:
$$\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1\times 3}\cdot\frac{1}{2^1}-\frac{1}{3\times 5}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{5\times 7}\cdot\frac{1}{2^5}-\frac{1}{7\times 9}\cdot\frac{1}{2^7}+\cdots+\frac{1}{1\times 3}\cdot\frac{1}{7^1}-\frac{1}{3\times 5}\cdot\frac{1}{7^3}+\frac{1}{5\times 7}\cdot\frac{1}{7^5}-\frac{1}{7\times 9}\cdot\frac{1}{7^7}+\cdots$$
注意到这是一个交错级数,我们可以使用莱布尼茨判别法来估算它的和。具体来说,我们可以计算出前 $n$ 项的和 $S_n$,然后估算出剩余的部分 $R_n$ 的上下界,从而得到 $S_n+R_n$ 的上下界。
首先,我们计算前 $10$ 项的和:
$$S_{10}=\frac{1}{1\times 3}\cdot\frac{1}{2^1}-\frac{1}{3\times 5}\cdot\frac{1}{2^3}+\frac{1}{5\times 7}\cdot\frac{1}{2^5}-\frac{1}{7\times 9}\cdot\frac{1}{2^7}+\frac{1}{1\times 3}\cdot\frac{1}{7^1}-\frac{1}{3\times 5}\cdot\frac{1}{7^3}+\frac{1}{5\times 7}\cdot\frac{1}{7^5}-\frac{1}{7\times 9}\cdot\frac{1}{7^7}+\frac{1}{1\times 3}\cdot\frac{1}{11^1}-\frac{1}{3\times 5}\cdot\frac{1}{11^3}$$
$$=0.7861513777574232$$
接下来,我们估算剩余的部分 $R_{10}$ 的上下界。注意到 $R_{10}$ 是一个交错级数,而它的每一项的绝对值都比前一项小,因此我们可以使用单调递减级数的估算方法。具体来说,我们可以将 $R_{10}$ 的绝对值上界估算为第 $10$ 项的绝对值,即:
$$|R_{10}|<\frac{1}{9\times 11}\cdot\frac{1}{2^9}=\frac{1}{49896}$$
于是,$S_{10}+R_{10}$ 的上下界为:
$$S_{10}+R_{10}<0.7861513777574232+\frac{1}{49896}<0.786172$$
$$S_{10}+R_{10}>0.7861513777574232-\frac{1}{49896}>0.786131$$
因此,我们得到了 $\pi$ 的一个近似值:
$$\pi\approx 4(S_{10}+R_{10})\approx 3.144688$$
这个值比 $\pi$ 略小,但是已经非常接近了。如果我们计算更多的项,就可以得到更精确的近似值。
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