MATLAB求解二阶偏微分方程

MATLAB中可以使用pdepe函数来求解二阶偏微分方程。假设我们要求解如下形式的方程：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})$$

其中$f$是已知的函数，$u(x,y)$是未知的函数。

我们需要将方程转化为标准形式，即：

$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x})$$

其中$D$是扩散系数，$t$是时间变量。

然后我们需要定义边界条件和初始条件。边界条件可以是Dirichlet条件、Neumann条件或者Robin条件，初始条件可以是一个函数或者一个常数。

最后使用pdepe函数进行求解，该函数的调用格式为：

$$[x,u]=\text{pdepe}(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)$$

其中$m$是方程的个数，$pdefun$是方程的右端函数，$icfun$是初始条件函数，$bcfun$是边界条件函数，$xmesh$是空间离散的节点位置，$tspan$是时间离散的节点位置。

下面是一个简单的例子：

function pdex1
m=0;
x=linspace(0,1,100);
t=linspace(0,0.1,20);
sol=pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);
u=sol(:,:,1);
surf(x,t,u);
title('Numerical solution computed with 20 time steps');
xlabel('Distance x');
ylabel('Time t');
end

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
c=1;
f=DuDx;
s=0;
end

function u0 = pdex1ic(x)
u0=x.*(1-x);
end

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl=0;
ql=1;
pr=0;
qr=1;
end

在这个例子中，我们求解的方程为：

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

边界条件为：

$$u(0,t)=u(1,t)=0$$

初始条件为：

$$u(x,0)=x(1-x)$$

我们使用了linspace函数生成了空间和时间的离散节点，然后调用pdepe函数进行求解。最后使用surf函数绘制了数值解的图像。