傅里叶变化利用正余玄函数的表达式

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它利用正弦函数和余弦函数的表达式来表示信号在频域上的分量。

在傅里叶变换中，一个信号可以表示为多个正余玄函数的叠加。具体来说，对于一个连续时间信号 x(t)，其傅里叶变换 X(f) 可以表示为：

X(f) = ∫[x(t) * e^(-j2πft)] dt

其中，X(f) 是频域上的复数函数，f 是频率，j 是虚数单位。

根据欧拉公式，复指数函数 e^(jθ) 可以表示为 cos(θ) + j sin(θ)。因此，可以将傅里叶变换中的复指数函数展开为正余玄函数的形式：

X(f) = ∫[x(t) * cos(2πft) - jx(t) * sin(2πft)] dt

这样，傅里叶变换 X(f) 可以看作是信号 x(t) 与正余玄函数 cos(2πft) 和 sin(2πft) 的内积。根据傅里叶变换的性质，X(f) 表示了信号 x(t) 在频域上的振幅和相位信息。

在离散时间傅里叶变换（DTFT）中，也可以利用正余玄函数的离散形式来表示信号在频域上的分量。类似地，对于一个离散时间信号 x[n]，其离散时间傅里叶变换 X[k] 可以表示为：

X[k] = ∑[x[n] * e^(-j2πkn/N)]

其中，X[k] 是频域上的复数函数，k 是频率索引，N 是信号的长度。

可以将复指数函数 e^(jθ) 展开为离散正余玄函数的形式：

X[k] = ∑[x[n] * cos(2πkn/N) - jx[n] * sin(2πkn/N)]

这样，离散时间傅里叶变换 X[k] 可以看作是信号 x[n] 与离散正余玄函数 cos(2πkn/N) 和 sin(2πkn/N) 的内积。

总结起来，傅里叶变换利用正弦函数和余弦函数的表达式，将信号从时域转换到频域。通过分解信号为正余玄函数的叠加，可以获得信号在频域上的振幅和相位信息。