最小二乘法 去掉偏置

最小二乘法是一种常用的线性回归方法，通过最小化残差平方和来拟合数据。在去掉偏置的情况下，最小二乘法的目标函数为：

$$
\min_{w} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \sum_{j=1}^{m} w_j x_{ij})^2
$$

其中 $w$ 是模型的参数，$x_{ij}$ 是第 $i$ 个样本的第 $j$ 个特征，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的标签。

为了去掉偏置，我们可以在特征矩阵 $X$ 中添加一列全为 1 的向量，即：

$$
X' = \begin{bmatrix}
1 & x_{11} & \cdots & x_{1m} \\
1 & x_{21} & \cdots & x_{2m} \\
vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_{n1} & \cdots & x_{nm}
\end{bmatrix}
$$

此时，目标函数变为：

$$
\min_{w} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \sum_{j=0}^{m} w_j x_{ij})^2
$$

其中 $w_0$ 对应的是偏置，我们可以将其去掉。

相关问题

最小二乘法和矢量最小二乘法

最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。在给定A∈R^mxn,b∈R^m的情况下，最小二乘法可以求解x∈R^n，使得目标函数最小。目标函数如下所示：

min ||Ax-b||^2

其中，||.||表示向量的二范数。最小二乘法可以用于线性回归、曲线拟合等问题。

矢量最小二乘法是最小二乘法的一种扩展形式，它可以同时处理多个最小二乘问题。在矢量最小二乘法中，我们需要求解以下问题：
min ||AX-B||^2

其中，A∈R^mxn，X∈R^nxd，B∈R^mxd，d表示需要求解的最小二乘问题的个数。矢量最小二乘法可以用于多元线性回归、多项式拟合等问题。

下面是一个使用Python实现最小二乘法和矢量最小二乘法的例子：

import numpy as np

# 最小二乘法
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
b = np.array([3, 7, 11])
x = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)[0]
print("最小二乘法解：", x)

# 矢量最小二乘法
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
B = np.array([[3, 4], [7, 8], [11, 12]])
X = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=None)[0]
print("矢量最小二乘法解：", X)

最小二乘法线性回归中偏置怎么求

在最小二乘法线性回归中，偏置可以通过对数据进行预处理，将所有特征值都减去其均值，然后将偏置设置为目标变量的均值来求解。具体地，偏置可以通过以下公式计算得出：b = y_mean - (w * x_mean)，其中，b表示偏置，y_mean表示目标变量的均值，w表示权重，x_mean表示特征值的均值。