matlab 迭代法 求解线性方程组

### 如何使用 MATLAB 通过迭代法求解线性方程组

#### 雅可比迭代法简介
雅可比迭代法是一种常用的求解线性方程组的迭代算法。该方法基于将原方程组分解为两个部分：对角矩阵 \(D\) 和剩余矩阵 \((L + U)\)，其中 \(L\) 是严格下三角矩阵，\(U\) 是严格上三角矩阵。

对于给定的线性方程组 \(Ax = b\), 其中 \(A\) 是系数矩阵，\(b\) 是常数项列向量，可以通过以下方式构建迭代公式：

\[ x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j^{(k)}\right) \]

此过程重复执行直到满足收敛条件或达到最大迭代次数[^2]。

#### MATLAB 实现代码示例
下面是一个完整的 MATLAB 函数 `jacobi_fun` 来实现上述描述的过程:

function x = jacobi_fun(A, b, n, x0, tol, N)
    % 初始化解向量
    x = zeros(n, 1);
    
    % 设置初始计数器
    k = 0;
    
    while k < N
        for i = 1 : n
            % 计算新的估计值
            x(i) = (b(i) - A(i, [1:i-1, i+1:n]) * x0([1:i-1, i+1:n])) / A(i, i);
        end
        
        % 如果误差小于指定公差，则停止循环
        if norm(x - x0) < tol
            break;
        end
        
        % 更新旧解并增加迭代次数
        x0 = x;
        k = k + 1;

        % 显示当前迭代的结果
        fprintf('当第%d次迭代时:\nx=\n', k);
        disp(x);
    end
    
    if k == N
        warning('警告: 达到最大迭代次数！');
    else
        fprintf('成功完成迭代。\n');
    end
    
    fprintf('总共进行了%d次迭代\n', k);
end

这段程序定义了一个名为 `jacobi_fun` 的函数，接受五个输入参数：系数矩阵 `A`, 常数项列向量 `b`, 方程数量 `n`, 初值猜测 `x0`, 收敛阈值 `tol`, 以及最大允许迭代次数 `N`. 输出最终得到的近似解 `x`.

#### 参数说明
- **A**: 系数矩阵（假设是非奇异）
- **b**: 右端项列向量
- **n**: 方程的数量
- **x0**: 初始猜测值，默认可以设为零向量
- **tol**: 容忍度水平，即相邻两次迭代之间的差异应低于这个值才认为已经收敛
- **N**: 设定的最大迭代次数限制