matlab 波动方程utt-uxx=0,0＜x＜1,t＞0;u(x,0)=0,ut(x,0)=sinx;u(0,t)=0,ux(1,t)=e^(-t)就 h=0.05 ,τ=0.01 写出计算格式,并编程计算.

在MATLAB中，要解决波动方程 \( u_{tt} - u_{xx} = 0 \)，给定初始条件 \( u(x,0) = 0 \), \( u_t(x,0) = \sin(x) \) 和边界条件 \( u(0,t) = 0 \), \( u_x(1,t) = e^{-t} \)，我们可以使用有限差分法进行数值求解，特别是在空间上使用显式欧拉法（对于时间）和中心差分法（对于空间）。对于空间步长 \( h = 0.05 \) 和时间步长 \( \tau = 0.01 \)，可以按照以下步骤编写程序：

1. 定义变量和矩阵：

L = 1; % 定义区间长度
T = 1; % 最大时间
dx = h; % 空间步长
dt = tau; % 时间步长
numStepsX = round(L/dx); % 空间网格点数
numStepsT = round(T/dt); % 时间步数

% 初始化二维数组储存u值
u = zeros(numStepsX+1, numStepsT+1);

2. 计算初始状态：

u(:,1) = 0;
u(:,2) = sin(linspace(0, L, numStepsX+1)); % 首次更新采用初速度

3. 实现波动方程的时间迭代（使用显式欧拉法）：

for t = 2:numStepsT
    for x = 2:numStepsX
        u_xx = (u(x+1,t) - 2*u(x,t) + u(x-1,t)) / dx^2;
        u_xx = u_xx + dt * (-u_xx); % 解耦波动方程
        u(x,t+1) = u(x,t) + dt * u_xx;
    end
    
    % 应用边界条件
    u(1,:) = 0;
    u(end,:) = exp(-t*ones(1,numStepsT-t+1));
end

4. 输出结果：

% 可视化结果
plot(u)
xlabel('x')
ylabel('u(x,t)')
title(['Solution of the wave equation at t = ' num2str(T)])