matlab求正交变换

### 如何在 MATLAB 中进行正交变换

#### 正交变换概述
正交变换是一种重要的信号处理技术，在图像压缩、数据降维等领域有着广泛应用。MATLAB 提供了多种工具来执行不同类型的正交变换。

#### QR 分解作为正交变换的一种方法
QR分解可以看作一种特殊的正交变换，它将矩阵A表示成一个正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积。对于给定的稀疏矩阵S及其右侧项B，可以通过`qr()`函数获得其最小二乘解[^2]：

[C, R, P] = qr(S, B);
X = P * (R \ C); % 当outputForm设置为'matrix'时使用此表达式计算最小二乘解

上述代码实现了通过QR分解来进行正交变换的过程，并解决了相应的线性方程组问题。

#### 使用 `orth` 函数获取正交基底
除了QR分解外，还可以利用`orth`函数直接得到输入矩阵列空间的一组标准正交基向量:

% 假设 A 是 m×n 维实数或复数值数组
Q = orth(A);

这里 Q 就是原始矩阵 A 列空间的一个单位正交基集合，满足 \( QQ^{H}=I_{r} \)，其中 r 表示 rank(A)。

#### 应用实例：离散余弦变换(DCT)
DCT也是一种常见的正交变换方式，尤其适用于图像编码领域。下面给出一段简单的二维DCT实现代码片段：

function dctMatrix = get_dct_matrix(N)
    n = 0:N-1;
    k = n';
    dctMatrix = sqrt(2/N)*cos(pi*(2*n'+1).*k/(2*N));
    dctMatrix(1,:) = dctMatrix(1,:)/sqrt(2);
end

N = 8; % DCT 变换阶数
dctMtx = get_dct_matrix(N);

imageData = rand(N,N); % 随机生成测试图片数据
transformedImg = dctMtx * imageData * dctMtx'; % 执行 DCT 转换
recoveredImg = dctMtx' * transformedImg * dctMtx; % 进行 IDCT 恢复原图

这段程序展示了如何构建一个 N × N 的离散余弦变换核以及应用该核完成对随机产生的灰度级图像数据的前向与逆向转换操作。