动态规划模型建立与求解模板

动态规划是一种解决优化问题的有效算法策略，它通常用于求解涉及子问题重叠的问题，例如最短路径、最长公共子序列等。动态规划模型的建立一般包含以下几个步骤：

1. **定义状态**：确定问题的基本单元，并定义一个状态变量来表示每个子问题的结果。

2. **划分阶段**：将问题分解成互斥和非递减的子问题。阶段通常对应于问题的时间步骤或空间位置。

3. **定义状态转移方程**：找到从一个状态转移到另一个状态的函数关系。这通常是通过当前状态依赖于前一阶段或更早阶段的状态计算得出的。

4. **初始化边界条件**：给出初始状态的值，通常是最简单的情况，以便开始递推过程。

5. **构建表格或数组**：按照顺序或自底向上的方式填充状态表，存储每个阶段的结果。

6. **解决方案**：最终的状态往往就是我们所求解的问题的答案。如果是最大值问题，结果通常位于最后一个阶段；如果是最小值问题，结果则在第一个阶段。

7. **剪枝优化（可选）**：对于某些情况，可能存在无用的工作重复，可以通过记忆化搜索或回溯算法避免。

动态规划求解的一个通用模板可以总结为以下伪代码：

def dp_solution(dp_table, base_case, transition_function):
    # 初始化边界条件
    dp_table[base_case] = initial_value
    
    # 状态转移
    for i in range(1, len(dp_table)):
        dp_table[i] = transition_function(dp_table, i)
    
    return dp_table[-1]