在所有长度为 n 且字符种类数为 m 的字符排列中,有多少 个不同的排列能够形成回文字符串,动态规划的公式
时间: 2024-10-01 13:09:44 浏览: 26
要计算长度为 \(n\)、字符种类数为 \(m\) 的回文字符串的排列数量,我们可以使用动态规划的方法。这个问题通常被称为“全排列回文串”(Palindrome Permutations)。对于每个位置 \(i\),从 \(0\) 到 \(n-1\),有 \(m\) 种选择,因为每个字符都可以放在这个位置。但需要注意的是,对于偶数长度的字符串,中间的两个字符必须相同才能形成回文;对于奇数长度的字符串,中间的那个字符可以选择任意一个。
设 \(P[i]\) 表示长度为 \(i\) 的回文字符串的数量,那么我们可以通过以下递推关系来计算:
- 对于 \(i = 1\) 到 \(n-1\),如果 \(i\) 是奇数,那么 \(P[i] = m\),因为中间位置可以选任何一个字符;
- 如果 \(i\) 是偶数,\(P[i] = \sum_{j=0}^{m-1} P[i-1] \), 这是因为前 \(i-1\) 位可以形成 \(m\) 种回文,每种情况下中间的第 \(i\) 位都有 \(m\) 种选择(包括与前 \(i-1\) 位相同的)。
初始条件是 \(P[0] = 1\),表示空字符串本身就是回文。
最终答案就是 \(P[n]\),即长度为 \(n\) 的回文字符串的数量。
动态规划的状态转移方程可以用以下 C++ 代码表示:
```cpp
int dp[1001]; // 假设 n 最大为 1000
dp[0] = 1; // 长度为 0 的回文只有一个,即空字符串
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (i % 2 == 1) { // 奇数长度
dp[i] = m;
} else { // 偶数长度
dp[i] = 0;
for (int j = 0; j < m; ++j) {
dp[i] += dp[i - 1];
}
}
}
// 结果就是 dp[n]
```