利用运算放大器和乘法器，设计电路实现功能如下：Uo=-4Uil/Ui2+2Ui3。 要求：1.画出该电路。 2.说明该电路正常工作时，所设计的电阻、比例系数k的取值及所满足的条件。 3.列出推导过程。

利用运算放大器和乘法器构建这样的电压跟随器可以实现非线性的电压转换。首先，让我们通过一个基本的图示来解释这个电路：

电路设计：
1. 连接两个运算放大器，其中一个作为反相输入，另一个作为同相输入。
2. 将输入信号 \( U_{il} \) 连接到第一个运放的反相端（通常标记为“-”），正向输入端（通常标记为“+”）接地。
3. 输入信号 \( U_i2 \) 和 \( U_i3 \) 分别连接到第二个运放的同相端和反相端。
4. 从第一个运放的输出端（也就是反相输入端的输出）串联一个分压网络，其中包含一个具有适当阻值的电阻 \( R_1 \)，用于将输出信号按比例缩放到合适的范围。
5. 第二个运放的输出则通过一个比例系数 \( k \) 连接到地。

电路如图所示：

          +-------------------------+
          |           OpAmp 1       |
          |         (+)            (-)
U_il ---|--- R1 ---| OpAmp 2 |--- kR1 --- GND
          |         (+)            (-)
          |        U_i2            U_i3
          +--+

正常工作条件：
1. 电阻 \( R_1 \) 的选取应保证运放的开环增益足够大，以避免饱和。通常选取 \( R_1 \) = \( R_f \)（反馈电阻），这样可以使输出接近理想的 -4\( U_{il} \)/\( U_{i2}^2 \)。
2. 比例系数 \( k \) 取值取决于运放的最大输出电压范围以及实际应用中需要的输出电压范围。理想上 \( k = -\frac{4}{(2R_1)} \) 来保持理论比例。
3. 运算放大器应该工作在线性区，即其输入信号小于其失调电压，并且负电源电压大于正电源电压加上运算放大器的偏置电流产生的电压降。

推导过程：
- 当运放2处于开环状态，输出电压 \( V_O \) 约等于 \( -\frac{U_{il}}{U_{i2}} \times R_1 \)。
- 通过比例系数 \( k \)，输出 \( V_{out} \) 等于 \( -k \times V_O \)。
- 结合步骤1的计算，\( V_{out} = -\frac{4U_{il}}{U_{i2}} \times (\frac{k}{2}) \)。
- 为了得到期望的比例关系 \( V_{out} = -\frac{4U_{il}}{U_{i2}^2 + 2U_{i3}} \)，需要设置 \( k = -\frac{4}{(2R_1)} \) 或者调整 \( R_1 \) 的值。