使用c++实现基于fft的多项式乘法

在C++中，使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）来进行多项式乘法通常涉及将多项式看作是一个复数序列，并利用FFT算法进行高效计算。这是因为FFT可以将频域中的乘法转换为时间域中的简单的逐点相加，这在处理大量数据时非常有效。

以下是基本步骤：

1. **离散化多项式**: 将两个多项式表示成系数数组，例如`a[]`和`b[]`，其中`a[i]`和`b[i]`分别是多项式的第`i+1`次项的系数。

2. **将多项式展开到复数序列**: 把每个多项式系数转换成复数形式，如`A[k] = a[k] * e^(-j * 2π * k / N)`，这里`N`是多项式的最高次数，`j`是虚数单位。

3. **递归或直接FFT**: 对这两个复数序列分别进行FFT得到`F1[]`和`F2[]`。

4. **频域乘法**: 然后将`F1[]`和`F2[]`对应位置的元素相乘，得到结果序列`R[]`。

5. **逆FFT**: 将`R[]`通过IFFT（逆快速傅里叶变换）还原回时间域，得到乘积多项式的系数数组。

6. **归一化和截断**: 因为可能会有高阶零点，需要对结果进行适当的归一化并取最接近原多项式精度的部分。

// 示例代码（简化版）
#include <complex>
#include <fftw3.h>

std::vector<std::complex<double>> fft_poly_multiply(const std::vector<double>& a, const std::vector<double>& b) {
    // ... 实现FFT和IFFT部分 ...
}

// 使用示例
std::vector<double> poly1 = {1, 2, 3}; // 第一项系数为1，第二项系数为2，第三项系数为3
std::vector<double> poly2 = {4, 5, 6}; // ...

auto product_coeffs = fft_poly_multiply(poly1, poly2);
// 这些系数可以用于重构乘积多项式