均匀带电圆环的在轴线上的电场强度分布

根据引用中的电势叠加原理，可以将均匀带电圆环看作由无数个电荷元素组成的，每个电荷元素产生的电场强度为：
$$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r}$$
其中，$dq$为电荷元素，$r$为电荷元素到轴线的距离。由于圆环是均匀带电的，所以每个电荷元素的电荷量相等，即$dq=\frac{Q}{2\pi R}d\theta$，其中$Q$为圆环总电荷量，$R$为圆环半径，$d\theta$为电荷元素所对应的圆心角。将$dq$代入上式，得到：
$$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R}\frac{d\theta}{r}$$
由于$r$和$d\theta$的关系为$r=R\sin\theta$，所以可以将上式改写为：
$$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R}\frac{d\theta}{R\sin\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\frac{\sin\theta d\theta}{\sin^2\theta}$$
对上式进行积分，得到均匀带电圆环在轴线上某一点的电场强度为：
$$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta d\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\int_{0}^{2\pi}\csc\theta d\theta$$
对上式进行积分，得到：
$$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\left[-\ln\left|\cot\frac{\theta}{2}\right|\right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\ln\left|\cot\frac{\pi}{2}\right|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\ln\left|\infty\right|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R^2}\cdot\infty$$
由于$\ln\left|\cot\frac{\theta}{2}\right|$在$\theta=0$和$\theta=2\pi$处的值相等且为无穷大，所以最终结果为无穷大。因此，均匀带电圆环在轴线上的电场强度分布是无穷大。