matlab qp 离散系统

### 使用 MATLAB 中的二次规划求解离散系统问题

#### 定义问题背景
为了在 MATLAB 中应用二次规划 (QP) 来解决离散系统的优化问题，首先需要理解所涉及的具体应用场景。假设目标是在给定的时间范围内最小化某个性能指标，同时满足一系列状态和控制变量上的约束条件。

#### 准备工作环境
确保安装并配置好最新版本的 MATLAB 和 Optimization Toolbox。这些工具提供了必要的函数来定义和求解 QP 问题[^1]。

#### 构造模型方程
对于离散时间动态系统，通常可以通过差分方程描述其行为：

\[ x(k+1)=A\cdot x(k)+B\cdot u(k), \]

其中 \( A \) 是状态转移矩阵；\( B \) 表示输入影响系数向量；而 \( x(k)\in R^n\) 和 \(u(k)\in R^m\) 则分别代表第 k 步的状态向量与控制输入向量。

#### 设计成本函数
考虑采用加权平方误差作为衡量标准，则有:

\[ J=\sum_{k=0}^{N-1}\left( r_k(x)^TQr_k(x)+u_k^TRu_k \right), \]

这里 \( N \) 是预测范围内的总步数；\( Q\succ 0,R\succeq 0 \) 分别对应于状态偏差惩罚权重矩阵及控制力度代价参数；\( r_k(x):=C\cdot x(k)-y_d(k) \)，表示实际输出相对于期望轨迹之间的差异。

上述表达式实际上构成了一个典型的二次型结构，因此非常适合用作 QP 的目标函数[^2]。

#### 设置边界条件和其他限制
除了基本的动力学关系外，在很多情况下还需要加入额外的操作界限或物理意义下的不等式约束，比如最大允许速度、位置区间等等。这可通过引入适当的上下限来进行表述：

\[ l_b\leqslant Ax+Bv\leqslant u_b,\quad v_l\leqslant v\leqslant v_u.\]

此处 \(l_b,u_b,v_l,v_u\) 均为已知常数值数组。

#### 编写MATLAB代码实现
下面给出一段简单的 M 文件示范程序片段用于说明如何调用 `quadprog` 函数完成整个过程：

% 参数初始化部分省略...

H = blkdiag(Q, R); % 组合后的海森矩阵 H=[Q zeros(n,m);zeros(m,n) R]
f = [reshape(C*x0-yd(:,1)',[],1); zeros(m,1)]; 

for i=2:N
    f = vertcat(f,[reshape(C*A^(i-1)*x0-C*yd(:,i)',[],1); reshape(B'*inv(R)*(yd(:,i-1)-C*A^(i-2)*x0),[],1)]);
end

lb = [-inf(size(A,1),1); ul]; ub = [inf(size(A,1),1); uh];

[x_opt,fval]= quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub);

这段脚本实现了基于指定初始状态 \(x_0\) 下对未来一段时间内最优控制器序列 \(u^\star(t|t+i)\) 的计算，并返回相应的最低累积损失值 `fval`.