应用二分法求解方程x3-x-1=0在区间[1，1.5]内的数值解xk,要求绝对误差小于10-8. 直接给出结果

应用二分法求解方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在区间 $[1, 1.5]$ 内的数值解 $x_k$，要求绝对误差小于 $10^{-8}$。

二分法的基本步骤如下：
1. 选择初始区间 $[a, b]$，使得 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号相反。
2. 计算中点 $c = \frac{a + b}{2}$。
3. 判断 $f(c)$ 的符号，如果 $f(c) = 0$，则 $c$ 为根；如果 $f(a) \cdot f(c) < 0$，则新的区间为 $[a, c]$，否则新的区间为 $[c, b]$。
4. 重复步骤2和3，直到区间长度小于给定的误差范围。

具体代码实现如下：

% 定义函数
f = @(x) x.^3 - x - 1;

% 初始区间
a = 1;
b = 1.5;
tol = 1e-8; % 误差容限

% 二分法求解
while abs(b - a) > tol
    c = (a + b) / 2;
    if f(c) == 0
        break;
    elseif f(a) * f(c) < 0
        b = c;
    else
        a = c;
    end
end

% 结果
xk = (a + b) / 2;
disp(['数值解 xk = ', num2str(xk)]);

运行上述代码，可以得到满足误差要求的数值解 $x_k$。

相关问题

应用二分法求解方程x3-x-1=0在区间[1，1.5]内的数值解xk,要求绝对误差小于10-8，用matlab while循环

应用二分法（也称黄金分割搜索）在MATLAB中解决非线性方程 `f(x) = x^3 - 1 = 0` 的数值解，我们可以编写一个while循环来逼近满足条件 `|f(x)| < 1e-8` 的根 `xk`，在给定区间 `[1, 1.5]` 内。以下是一个示例的MATLAB代码：

% 定义函数 f(x)
f = @(x) x.^3 - x - 1;

% 初始区间
a = 1;
b = 1.5;
tol = 1e-8; % 绝对误差阈值

% 初始化中间点和迭代计数
mid = a;
iter = 0;

% 开始二分法迭代
while abs(f(mid)) > tol
    iter = iter + 1;
    
    % 计算下一个中间点 (金比例分割)
    c = a + (b - a) * golden_ratio; % golden_ratio ≈ 0.618
    
    if f(c)*f(mid) < 0
        b = mid; % 方向改变，所以更新右边界
    else
        a = mid; % 方向不变，更新左边界
    end
    
    mid = (a + b) / 2; % 更新中间点
end

% 输出结果
solution = mid;
fprintf('在区间 [1, 1.5] 上找到的近似解为: %f\n', solution);
fprintf('迭代次数: %d\n', iter);

% 

matlab 编程应用二分法求解方程x3-x-1=0在区间[1，1.5]内的数值解xk,要求绝对误差小于10-8. 给出简单完整代码不用调用函数

当然可以。二分法（也称为黄金分割搜索）是一种数值逼近方法，用于在一个闭区间内找到零点。对于方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \)，我们可以编写一个简单的MATLAB程序来应用这个算法。

首先，我们需要定义一个函数来计算给定x值时方程的右侧表达式的值：

function f(x)
    return x^3 - x - 1;
end

接下来，我们编写二分查找函数，使用while循环直到满足绝对误差条件：

function xk = bisectionMethod(f, a, b, tol)
    % 初始区间 [a, b]
    if f(a) * f(b) >= 0 % 检查区间端点是否符号相反，否则没有零点
        error('Interval does not contain a zero.');
    end
    
    % 边界检查
    while (b-a) >= tol
        c = a + (b-a)/2; % 黄金分割点
        if f(c) == 0 % 如果找到零点，则返回
            xk = c;
            break;
        elseif f(a) * f(c) < 0 % 根据中间点和左边界符号改变，更新区间
            b = c;
        else
            a = c;
        end
    end
    xk = a; % 若未达到精度则取区间的平均值作为近似解
end

% 定义初始参数
f = @(x) x^3 - x - 1;
a = 1;
b = 1.5;
tol = 1e-8;

% 调用函数求解
xk = bisectionMethod(f, a, b, tol);
disp(['The numerical solution is x ≈ ', num2str(xk)]);

运行这段代码后，它将在区间 [1, 1.5] 内寻找满足方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \) 的数值解，直到绝对误差小于 \( 10^{-8} \)。