扩展卡尔曼滤波 无人车

### 扩展卡尔曼滤波在无人车中的应用与实现

#### 应用背景
无人车导航过程中，传感器数据通常存在噪声和不确定性。为了提高定位精度并处理非线性系统特性，扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）被广泛应用。EKF通过将复杂的非线性模型局部近似为线性来简化计算过程[^2]。

#### 数学原理概述
对于一般的非线性离散时间动态系统：

\[ \textbf{x}_{k} = f(\textbf{x}_{k-1},\textbf{u}_k)+w_{k-1}\]

其中 \(f\) 是系统的状态转移函数；\(w_k ∼ N(0,Q)\) 表示过程噪音服从均值为零协方差矩阵为 Q 的正态分布。测量更新阶段则遵循如下关系:

\[ z_k=h(x_k)+v_k,\quad v_k∼N(0,R)\]

这里 h() 描述观测向量与真实位置之间的映射关系; R 代表观测量误差的统计特征[^3]。

#### Python 实现案例分析
下面给出一段简单的 python 代码片段展示如何构建一个基本版本的 EKF 来预测车辆的位置变化趋势。此程序来源于开源项目【PythonRobotics】中有关于 EKF 定位的例子。

import numpy as np
from scipy.linalg import block_diag


class ExtendedKalmanFilter(object):

    def __init__(self, F=None, B=None, H=None,
                 Q=None, R=None, P=None, x0=None):
        self.F = F                      # State transition matrix.
        self.H = H                      # Measurement function.
        self.B = 0 if B is None else B  # Input control vector.
        self.Q = np.eye(self.x.size) if Q is None else Q  
        self.R = np.eye(self.H.shape[0]) if R is None else R   
        self.P = np.eye(self.F.shape[1]) if P is None else P    
        self._I = np.eye(F.shape[0])

    def predict(self, u=0):
        """Predict next state (prior)."""
        self.x = np.dot(self.F, self.x) + np.dot(self.B, u)
        self.P = np.dot(np.dot(self.F, self.P), self.F.T) + self.Q
        
    def update(self, Z):
        """Update the current estimate based on measurement."""
        y = Z - np.dot(self.H, self.x)
        S = self.R + np.dot(self.H, np.dot(self.P, self.H.T))
        K = np.dot(np.dot(self.P, self.H.T), np.linalg.inv(S))

        self.x = self.x + np.dot(K, y)

        I_KH = self._I - np.dot(K, self.H)
        self.P = np.dot(I_KH, np.dot(self.P, I_KH.T)) \
            + np.dot(np.dot(K, self.R), K.T)


def ekf_example():
    dt = 0.1
    
    # Define matrices according to your problem setup here...
    F = ...                           # Transition Matrix
    H = ...                           # Observation Model
    Q = ...                           # Process Noise Covariance
    R = ...                           # Measurement Noise Covariance
    P = ...                           # Initial Estimation Error Covariance
    x = ...                           # Initial Condition Estimate

    ekf = ExtendedKalmanFilter(F=F, H=H, Q=Q, R=R, P=P, x0=x)

    while True:
        uk = get_control_input()
        zk = make_measurement()

        ekf.predict(u=uk)
        ekf.update(zk)

        plot_current_state_and_prediction(ekf.x)

上述代码定义了一个通用形式下的 EKF 类及其主要方法 `predict` 和 `update`, 并提供了一个简单循环框架用于模拟连续的时间步迭代操作。实际应用场景下还需要根据具体需求填充各个参数矩阵的具体数值。