python 最小二乘法椭圆拟合

### 使用Python通过最小二乘法实现椭圆拟合

为了利用最小二乘法在Python中完成椭圆拟合的任务，可以采用专门为此目的设计的库或算法。一种常见的方式是借助`numpy`和`scipy`这两个强大的科学计算包来处理数据并执行优化过程。

下面给出了一种基于最小二乘原理的具体实施方案：

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares


def fit_ellipse(x, y):
    """
    Fit an ellipse to given data points.
    
    Parameters:
        x : array_like
            X coordinates of the data points.
        y : array_like
            Y coordinates of the data points.

    Returns:
        params : tuple
                 Fitted parameters (a,b,c,d,f,g) corresponding to 
                 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 equation form.
    """

    def fun(params, x, y):
        a, b, c, d, e, f = params
        return a*x**2 + b*x*y + c*y**2 + d*x + e*y + f
    
    # Initial guess for the parameters
    initial_guess = [1., 0., 1., 0., 0., -1.]

    # Perform fitting with non-linear least squares
    res_lsq = least_squares(fun, initial_guess, args=(x, y))

    return tuple(res_lsq.x)


# Example usage
if __name__ == "__main__":
    N = 50  # Number of sample points
    t = np.linspace(0, 2*np.pi, N)
    noise_level = 0.1

    # Generate noisy samples on an ellipse
    true_params = (-1., 2., 2., 1., -1., -3.)
    A, B, C, D, E, F = true_params
    x_true = lambda t: -(D*E - B*F)/(B**2 - A*C) + ((C*(A*t**2 + D*t + F)) -
                                                    (B*(B*t**2 + E*t + F))) / \
                       (B**2 - A*C)**0.5 * np.cos(t)
    y_true = lambda t: -(B*D - A*E)/(B**2 - A*C) + ((A*(B*t**2 + E*t + F)) -
                                                    (B*(A*t**2 + D*t + F))) / \
                       (B**2 - A*C)**0.5 * np.sin(t)

    x_data = x_true(t) + noise_level * np.random.randn(N)
    y_data = y_true(t) + noise_level * np.random.randn(N)

    fitted_params = fit_ellipse(x_data, y_data)
    print(f"Fitted parameters: {fitted_params}")

此代码片段定义了一个名为`fit_ellipse`的功能函数，该函数接收一系列的数据点作为输入，并返回描述最佳匹配椭圆的一组参数[^2]。这里采用了非线性的最小平方误差准则来进行模型训练；即寻找能够使预测值与实际观测之间的差异尽可能小的那一套系数组合。此外，在示例部分还展示了如何生成带有噪声干扰的真实椭圆形轨迹样本及其对应的拟合效果评估[^4]。