隐式差分格式matlab一维热传导方程

以下是使用隐式差分格式求解一维热传导方程的 MATLAB 代码示例：

% 定义偏微分方程
alpha = 0.1; % 热扩散系数
t_end = 0.5; % 时间间隔
dx = 0.1; % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长

nx = 10; % 空间网格数
nt = t_end / dt; % 时间网格数

u = zeros(nx, 1); % 初始条件
u(1) = 100; % 左边界
u(end) = 0; % 右边界

% 离散化偏微分方程
r = alpha * dt / (dx^2); % 计算稳定性条件
A = diag(2*(1+r)*ones(nx-2,1)) + diag(-r*ones(nx-3,1),1) + diag(-r*ones(nx-3,1),-1);

% 构建矩阵方程
u_new = u(2:end-1); % 将未知量展开为列向量
for i = 1:nt
    u_new = A \ u_new;
    u(2:end-1) = u_new; % 将计算结果赋值给未知量
end

% 绘制结果
x = 0:dx:1;
plot(x, u);

在这个示例中，我们首先定义了偏微分方程，并将其离散化为矩阵方程。然后，我们使用 MATLAB 中的反斜杠运算符 `\` 来解决矩阵方程，并将计算结果赋值给未知量。最后，我们绘制了计算结果。

相关问题

隐式差分格式matlab

隐式差分格式是一种数值方法，用于解决偏微分方程问题。在 MATLAB 中，可以使用以下步骤来实现隐式差分格式：

1. 定义偏微分方程，并将其转化为离散形式。
2. 构建矩阵方程，其中每个未知量对应一个方程。
3. 解决矩阵方程，得到每个未知量的值。

以下是一个使用隐式差分格式求解二维热传导方程的 MATLAB 代码示例：

% 定义偏微分方程
alpha = 0.1; % 热扩散系数
t_end = 0.5; % 时间间隔
dx = 0.1; % 空间步长
dy = 0.1;
dt = 0.01; % 时间步长

nx = 10; % 空间网格数
ny = 10;
nt = t_end / dt; % 时间网格数

u = zeros(nx, ny); % 初始条件
u(:, 1) = 100; % 左边界
u(:, end) = 0; % 右边界
u(1, :) = 0; % 上边界
u(end, :) = 0; % 下边界

% 离散化偏微分方程
r = alpha * dt / (dx^2); % 计算稳定性条件
s = alpha * dt / (dy^2);
A = diag(2*(1+r+s)*ones(nx-2,1)) + diag(-r*ones(nx-3,1),1) + diag(-r*ones(nx-3,1),-1);
B = diag(2*(1+r+s)*ones(ny-2,1)) + diag(-s*ones(ny-3,1),1) + diag(-s*ones(ny-3,1),-1);

% 构建矩阵方程
u_new = reshape(u(2:end-1, 2:end-1), [], 1); % 将未知量展开为列向量
for i = 1:nt
    u_new = A \ u_new;
    u_new = reshape(u_new, nx-2, ny-2);
    u_new = B \ u_new';
    u_new = u_new';
    u(2:end-1, 2:end-1) = u_new; % 将计算结果赋值给未知量
end

% 绘制结果
[X, Y] = meshgrid(0:dx:1, 0:dy:1);
surf(X, Y, u');

在这个示例中，我们首先定义了偏微分方程，并将其离散化为矩阵方程。然后，我们使用 MATLAB 中的反斜杠运算符 `\` 来解决矩阵方程，并将计算结果赋值给未知量。最后，我们绘制了计算结果。

一维热传导方程的数值解 matlab代码

一维热传导方程的数值解可以使用显式差分法（Explicit Finite Difference Method）或隐式差分法（Implicit Finite Difference Method）来求解。下面是使用显式差分法的 MATLAB 代码：

% 定义常数
L = 1; % 杆的长度
T = 1; % 总时间
alpha = 0.01; % 热扩散系数
N = 100; % 空间网格数
M = 1000; % 时间步数
dx = L/N; % 空间步长
dt = T/M; % 时间步长

% 初始化温度分布
u = zeros(N+1, M+1);
u(:, 1) = sin(pi*(0:N)/N);

% 显式差分法求解
for m = 1:M
    for i = 2:N
        u(i, m+1) = u(i, m) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1, m)-2*u(i, m)+u(i-1, m));
    end
end

% 绘制温度分布随时间的变化
t = linspace(0, T, M+1);
x = linspace(0, L, N+1);
[X, T] = meshgrid(x, t);
surf(X, T, u');
xlabel('Position');
ylabel('Time');
zlabel('Temperature');

上述代码中，我们使用了一个 $N+1$ 行 $M+1$ 列的矩阵 $u$ 来存储温度分布随时间的变化。在初始化时，我们将温度分布设置为 $sin(\pi x/L)$。然后，我们使用两个 for 循环来进行显式差分法的迭代计算，最后使用 surf 函数绘制温度分布随时间的变化曲面。