最小二乘法拟合非线性函数及其Matlab/Excel 实现（转）

最小二乘法是一种常用的拟合方法，可以用来拟合线性和非线性函数。这里介绍如何用最小二乘法拟合非线性函数，并提供Matlab和Excel实现代码。

## 一、最小二乘法拟合非线性函数

最小二乘法的基本思想是将实验数据拟合到一个数学模型中，使得实验数据与模型预测值之间的误差最小。对于非线性函数，最小二乘法的数学模型可以表示为：

$$y=f(x,\theta)+\varepsilon$$

其中，$y$是实验数据，$f(x,\theta)$是非线性函数模型，$\theta$是模型的参数，$\varepsilon$是误差项。我们的目标是找到最优的参数 $\theta$，使得误差最小。

最小二乘法的思路是通过最小化残差平方和来确定参数 $\theta$。残差指的是实验数据与模型预测值之间的差异，残差平方和可以用以下公式表示：

$$S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i,\theta))^2$$

其中，$n$是实验数据的个数。我们的目标是找到最小化 $S$ 的参数 $\theta$。

## 二、Matlab实现

以下是用Matlab实现最小二乘法拟合非线性函数的代码：

% 实验数据
x = [1,2,3,4,5];
y = [0.5,0.8,1.2,1.5,2];
% 非线性函数模型
f = @(x,theta) theta(1)*x./(theta(2)+x);
% 初始参数值
theta0 = [1,1];
% 最小化残差平方和
theta = fminsearch(@(theta) sum((y-f(x,theta)).^2),theta0);
% 绘图显示拟合结果
plot(x,y,'o',x,f(x,theta),'-')
legend('实验数据','拟合结果')

这段代码首先定义了实验数据 $x$ 和 $y$，然后定义了非线性函数模型 $f$ 和初始参数值 $\theta_0$。接着，用 `fminsearch` 函数最小化残差平方和，并得到最优的参数 $\theta$。最后，用 `plot` 函数绘制实验数据和拟合结果的图形，并用 `legend` 函数添加图例。

## 三、Excel实现

以下是用Excel实现最小二乘法拟合非线性函数的步骤：

1. 将实验数据 $x$ 和 $y$ 分别输入Excel表格中的两列。
2. 在Excel表格中选择两个空白单元格，输入非线性函数模型的公式，例如 `=A1*B1/(B1+A1)`。
3. 将这个公式拖动到所有实验数据的行中，得到所有模型预测值。
4. 在Excel表格中选择一个空白单元格，输入残差平方和的公式，例如 `=SUM((C2:C6-B2:B6)^2)`。
5. 调整参数 $\theta$ 的值，使得残差平方和最小化。
6. 可以用Excel的绘图功能绘制实验数据和拟合结果的图形。

这里需要注意的是，在Excel中实现最小二乘法需要手动调整参数 $\theta$ 的值，比较繁琐。如果数据量较大，建议使用Matlab等专业的数据分析工具实现。