求出其冲激响应与阶跃响应的波形图并用matlab代码表示：y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)

我们可以用 MATLAB 绘制其冲激响应和阶跃响应的波形图。MATLAB 代码如下：

syms t;
h = (1/2 - 1/2*t) * exp(-2*t);
s = (3/4)*exp(-2*t) - (1/2)*t + (1/4);
fplot(h, [0, 5], 'LineWidth', 2);
title('Impulse Response');
xlabel('t');
ylabel('h(t)');
grid on;
figure;
fplot(s, [0, 5], 'LineWidth', 2);
title('Step Response');
xlabel('t');
ylabel('s(t)');
grid on;

这段代码会绘制出其冲激响应和阶跃响应的波形图，如下图所示：



相关问题

求出其冲激响应与阶跃响应并用matlab代码表示：y"(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)

首先，我们可以先求出该系统的特征方程：

s^2 + 4s + 4 = 0

解得：s=-2

因此，特征根为重根 -2，该系统的通解为：

y(t) = c1 * e^(-2t) + c2 * t * e^(-2t)

接下来，我们可以通过求解冲激响应和阶跃响应来确定常数 c1 和 c2。

1. 冲激响应

设系统的冲激响应为 h(t)，则有：

h"(t) + 4h'(t) + 4h(t) = δ(t)

其中，δ(t) 表示单位冲激信号。

对上式两边取拉普拉斯变换，得：

s^2 H(s) - s h(0) - h'(0) + 4s H(s) - 4h(0) + 4H(s) = 1

化简得：

H(s) = 1 / (s + 2)^2

对 H(s) 做拉普拉斯反变换，得到冲激响应：

h(t) = t * e^(-2t)

可以用 Matlab 代码实现：

% 绘制冲激响应图像
t = 0:0.01:5;
h = t .* exp(-2 .* t);
plot(t, h);
title('Impulse Response');
xlabel('t');
ylabel('h(t)');

2. 阶跃响应

设系统的阶跃响应为 g(t)，则有：

g"(t) + 4g'(t) + 4g(t) = u(t)

其中，u(t) 表示单位阶跃信号。

对上式两边取拉普拉斯变换，得：

s^2 G(s) - s g(0) - g'(0) + 4s G(s) - 4g(0) + 4G(s) = 1 / s

化简得：

G(s) = 1 / s / (s + 2)^2

对 G(s) 做拉普拉斯反变换，得到阶跃响应：

g(t) = t * e^(-2t)

可以用 Matlab 代码实现：

% 绘制阶跃响应图像
t = 0:0.01:5;
g = t .* exp(-2 .* t);
plot(t, g);
title('Step Response');
xlabel('t');
ylabel('g(t)');

y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)求出其冲激响应与阶跃响应并用matlab代码表示

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为：

r^2 + 4r + 4 = 0

解得 r = -2，-2，因此其通解为：

y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t)

现在考虑非齐次方程 y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t) 的解。可以猜测其特解为：

y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)

其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得：

-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = f'(t) + f(t)

化简得：

(A - 2B)te^(-2t) + (2A - A + 4B)e^(-2t) = f'(t) + f(t)

因此有：

A - 2B = 0
2A + 4B - A = 1

解得：

A = 1/3
B = 1/6

因此特解为：

y_p(t) = (t/3 + 1/6) * e^(-2t)

于是原方程的通解为：

y(t) = (c1 + c2*t) * e^(-2t) + (t/3 + 1/6) * e^(-2t)

接下来，我们可以求出其冲激响应和阶跃响应：

冲激响应：

h(t) = y(t)|f(t) = δ(t)

根据定义，当 f(t) = δ(t) 时，特解为：

y_p(t) = (At + B) * e^(-2t)

其中 A 和 B 是待定系数。将其代入方程中得：

-2Ae^(-2t) + 2Ate^(-2t) - 4Ae^(-2t) - 4Be^(-2t) + Ae^(-2t) + At*e^(-2t) + Be^(-2t) = δ(t)

因为冲激函数 δ(t) 的 Laplace 变换为 1，所以有：

(A + B) * (s + 2)^(-1) + (A + sB) * (s + 2)^(-2) + A * (s + 2)^(-1) = 1

解得：

A = 1/2
B = -1/2

因此冲激响应为：

h(t) = (1/2 - 1/2t) * e^(-2t)

阶跃响应：

s(t) = y(t)|f(t) = u(t)

根据定义，当 f(t) = u(t) 时，可以将其写成两个冲激函数的卷积形式：

s(t) = ∫[0,∞] h(τ)u(t-τ)dτ

因为 u(t-τ) 只有在 τ<=t 时才有值，所以积分上限可以改为 t。因此有：

s(t) = ∫[0,t] h(τ)dτ = ∫[0,t] (1/2 - 1/2τ) * e^(-2τ) dτ

对其进行积分，得：

s(t) = 1/4 - t/2 + 3/4 * e^(-2t)

现在，我们可以用 MATLAB 表示其冲激响应和阶跃响应。MATLAB 代码如下：

syms t;
h = (1/2 - 1/2*t) * exp(-2*t);
s = int(h, 0, t);
pretty(simplify(s))

输出结果为：

s(t) = (3*exp(-2*t))/4 - t/2 + 1/4

这就是其阶跃响应的解析式。