HOSVD高阶奇异值分解

HOSVD（Higher-Order Singular Value Decomposition）是一种高阶张量的奇异值分解方法。与矩阵的SVD类似，HOSVD将一个高阶张量分解成多个低阶张量的乘积，从而提取出张量的特征信息。

具体来说，对于一个三维张量X，它的HOSVD分解可以表示为：

X = U x1 S x2 V^T

其中，U是X在第一维上的左奇异矩阵，S是一个对角线上排列的奇异值矩阵，x1和x2分别是X在第一维和第二维上的右奇异矩阵，V是X在第三维上的右奇异矩阵。

HOSVD的优点是可以提取出张量的特征信息，并且可以应用于高维数据的降维和特征提取等领域。但是，HOSVD的计算量比较大，对于高阶张量的分解会面临着计算瓶颈的问题。

相关问题

高阶奇异值分解(HOSVD)时间复杂度

### 回答1：
高阶奇异值分解(HOSVD)的时间复杂度是比较高的，主要取决于数据张量的大小和维度数。具体地说，假设数据张量的大小为 $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_d$，则 HOSVD 的时间复杂度为 $O(dn^3)$，其中 $n = \max(n_1, n_2, \cdots, n_d)$。

这是因为 HOSVD 需要对每个模态进行奇异值分解，而每个奇异值分解的时间复杂度为 $O(n^3)$，因此总的时间复杂度就是 $O(dn^3)$。需要注意的是，当数据张量的维度数 $d$ 较大时，HOSVD 的时间复杂度会变得非常高，因此在实际应用中需要谨慎使用。

### 回答2：
高阶奇异值分解（HOSVD）是一种对高阶张量进行分解的方法。在HOSVD中，将一个高阶张量分解为一系列低阶张量的乘积。HOSVD的时间复杂度取决于张量的阶数和每个阶数的维度。

假设一个高阶张量的阶数为n，每个阶数的维度分别为d1, d2, ..., dn，则HOSVD的时间复杂度为O(d1^3 * d2^3 * ... * dn^3)。

HOSVD的时间复杂度主要来自奇异值分解的计算。对于二维矩阵，奇异值分解的时间复杂度为O(m * n * r)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数，r是矩阵的秩。在HOSVD中，对于每个阶数的维度，需要对相应的矩阵进行奇异值分解，因此时间复杂度为O(d^3 * r)，其中d是每个阶数的维度。

在高阶张量中，有多个阶数，因此需要对每个阶数的维度进行奇异值分解，所以时间复杂度需要乘以每个阶数的维度的立方。因此，HOSVD的时间复杂度为O(d1^3 * d2^3 * ... * dn^3)。

需要注意的是，HOSVD的时间复杂度是一个指数级的增长，所以对于高阶张量，计算的复杂度将会非常高。在实际应用中，为了减少计算量，可以通过降维或者截断奇异值的方式进行近似计算。

### 回答3：
高阶奇异值分解(HOSVD)是一种用于多维张量分解的方法，它可以将一个高维张量分解为一组低秩张量的乘积形式。在进行HOSVD时，其时间复杂度可以分为两个部分。

首先是奇异值分解(SVD)的计算，该步骤通常需要对各个模态的矩阵进行SVD分解，从而得到每个模态的奇异值矩阵。假设原始张量的维度为n1 * n2 * .... * nr，那么在每个模态上进行SVD的时间复杂度为O(ni^3)，其中ni表示第i个模态的维度。所以对于n个模态的张量，总的SVD时间复杂度为O(n * max(ni^3))。

其次是通过各个模态的奇异值矩阵来重构张量的时间复杂度，即计算每个模态上的低秩矩阵乘积。假设每个模态上的低秩矩阵维度为k，那么在每个模态上进行低秩矩阵乘积的时间复杂度为O(ni * k^2)。因此，总的重构时间复杂度为O(n * max(ni * k^2))。

综上所述，高阶奇异值分解(HOSVD)的时间复杂度为O(n * max(ni^3)) + O(n * max(ni * k^2))。其中n表示模态数量，ni表示每个模态的维度，k表示低秩矩阵的秩。

matlab 高阶奇异值分解

高阶奇异值分解（Higher-order singular value decomposition，简称HOSVD）是一种用于处理高维多维数组数据的数学方法。HOSVD能够将一个多维数组表示为一组核心张量和一组矩阵的乘积形式。

HOSVD可以用于数据降维、特征提取和数据压缩等应用领域。首先，HOSVD将原始的多维数组分解成一组核心张量和一组矩阵。核心张量对应于原始数据的特征分布，矩阵则表示在每个维度上的特征向量。通过对核心张量和矩阵进行适当的选取和截断，可以实现对多维数据的降维和压缩。

HOSVD的主要步骤包括：首先，通过对原始数据进行维数重排，将其转化为一个三维矩阵。然后，对这个三维矩阵进行奇异值分解，得到一组奇异值和一组奇异向量。通过选取较大的奇异值和相应的奇异向量，可以近似地表示原始数据的特征分布。最后，将近似表示的特征分布重新组合起来，得到核心张量和矩阵。

通过HOSVD分解，可以实现对高维多维数组数据的降维和特征提取。这种方法不仅能够捕捉数据的整体特征分布，还能够提取出各个维度上的主要特征。因此，HOSVD在信号处理、图像处理、数据挖掘等领域具有广泛的应用前景。

总之，HOSVD是一种用于高维多维数组数据处理的数学方法，通过将多维数组分解为核心张量和矩阵的乘积形式，实现了数据的降维和特征提取。它在各种领域具有重要的应用价值。