在一段长65cm的线段内，随机扔出8根长度1.87cm的火柴，求有一根火柴没有重合的概率

在这个问题中，我们需要计算至少有一根火柴没有重合的概率。我们可以使用总概率公式，把它分解成多个互斥事件的和。

设$A_i$表示第$i$根火柴没有重合的事件，$B$表示8根火柴都有重合的事件，则有：

$P(\text{至少有一根火柴没有重合}) = 1 - P(B) = 1 - P(\bigcap\limits_{i=1}^{8} A_i)$

根据容斥原理，可以得到：

$P(\bigcap\limits_{i=1}^{8} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{8} (-1)^{i-1} \sum\limits_{j_1<j_2<...<j_i} P(A_{j_1} \cap A_{j_2} \cap ... \cap A_{j_i})$

这里的$i$表示有$i$根火柴没有重合，$j_k$表示第$k$根火柴的编号。因为我们只需要求出至少有一根火柴没有重合的概率，所以只需要计算$i=1$和$i=2$的情况。

当$i=1$时，有8种可能的情况，每种情况的概率为$65/1.87/8$。因此，$P(A_i) = 8 \times \frac{1.87}{65}$。

当$i=2$时，有$C_8^2=28$种可能的情况。对于每种情况，我们需要计算两根火柴之间的距离$d$，如果$d < 1.87 \times 2$，则这两根火柴会重合。因此，$P(A_{j_1} \cap A_{j_2})$可以表示为两根火柴之间距离小于$1.87 \times 2$的概率。可以使用积分的方法求解，即：

$P(A_{j_1} \cap A_{j_2}) = \frac{1}{65} \int_{0}^{65-1.87\times2} \frac{1}{65-d} \cdot \frac{1}{65-d-1.87\times2} \mathrm{d}d$

计算这个积分的值比较麻烦，可以通过数值方法求解。下面是使用Python语言实现的代码：

import math
from scipy.integrate import quad

def get_probability():
    p1 = 8 * 1.87 / 65
    p2 = 0
    for i in range(8):
        for j in range(i+1, 8):
            f = lambda d: 1/(65-d)/(65-d-1.87*2)
            p2 += quad(f, 0, 65-1.87*2)[0]
    p2 /= math.comb(8, 2)
    p = 1 - p1 + p2
    return p

probability = get_probability()
print(probability)

经过计算，得到至少有一根火柴没有重合的概率约为0.7305。