题目：求集合A上的不同等价关系的个数 问题描述 给定一个正整数n, A是包含n个元素的集合，确定A集合上不同等价关系的个数。 输入格式 正整数n 输出格式 不同等价关系的个数 样例输入 3 样例输出 5

这是一个组合数学问题，我们可以使用 Burnside 引理来解决。Burnside 引理是一个计数定理，可以用于计算一个群在一些操作下的不动点个数。

对于这个问题，我们可以使用置换群 $S_n$，它包含 $n!$ 个置换，每个置换都对应着集合 $A$ 上的一个等价关系。我们需要计算的是在这 $n!$ 个置换中有多少个是等价的。

对于一个置换 $\sigma \in S_n$，我们定义它的循环节数为 $\operatorname{lcm}(k_1, k_2, \ldots, k_m)$，其中 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 是 $\sigma$ 的所有循环的长度。例如，对于置换 $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$，它的循环节数为 $\operatorname{lcm}(3, 2) = 6$。

根据 Burnside 引理，不同等价关系的个数等于所有置换的循环节数的平均数。也就是说，我们需要计算：

$$
\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{lcm}(k_1, k_2, \ldots, k_m)
$$

其中 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 是 $\sigma$ 的所有循环的长度。这个式子看起来很难计算，但是我们可以使用 Polya 定理来简化它。

Polya 定理是一个计数定理，可以用于计算一个群在一些操作下的循环节数。我们在这里简单介绍一下它的用法。对于一个置换群 $G$，我们可以定义它的一个操作为一个二元组 $(g, x)$，其中 $g \in G$，$x$ 是一个元素。这个操作将 $x$ 变成 $g(x)$。我们需要计算 $G$ 在所有操作下的不动点个数之和。根据 Polya 定理，这个和等于

$$
\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} a(g)^{c(g)}
$$

其中 $a(g)$ 是 $g$ 操作下的不动点个数，$c(g)$ 是 $g$ 的循环节数。

对于这个问题，我们可以使用 $S_n$ 的所有置换作为操作。对于一个置换 $\sigma \in S_n$，我们将它表示成一个 $n$ 元组 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$，其中 $a_i$ 是 $\sigma(i)$。我们定义操作 $(\tau, (a_1, a_2, \ldots, a_n))$ 将元组 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 变成 $(\tau(a_1), \tau(a_2), \ldots, \tau(a_n))$。

我们需要计算 $S_n$ 在所有操作下的不动点个数之和。根据 Polya 定理，这个和等于

$$
\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} 2^{c(\sigma)}
$$

其中 $c(\sigma)$ 是 $\sigma$ 的循环节数。注意到这个式子只和 $\sigma$ 的循环节数有关，不和具体的置换有关。因此，我们可以将它改写成

$$
\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n p(n, k) 2^{k}
$$

其中 $p(n, k)$ 表示将 $n$ 个元素划分成 $k$ 个非空的循环的方案数。它的值可以使用 Bell 数来计算。也就是说，

$$
p(n, k) = \sum_{i=0}^k {k \choose i} B_{n-i}
$$

其中 $B_n$ 是第 $n$ 个 Bell 数。它的递推式是

$$
B_{n+1} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k
$$

边界条件是 $B_1 = 1$。

综上所述，我们可以使用下面的 Python 代码来解决这个问题：