求函数 f(x) 在指定区间上对于Φ=span{1, x, x2}的最佳平方逼近多项式: f(x)=1/(x+1), x∈[0, 1] f(x)=sin(x), x∈[0, π]

对于区间 [0,1]，我们需要找到一个形如 p(x) = a + bx + cx^2 的多项式，使得 p(x) 对于 Φ=span{1, x, x^2} 最佳平方逼近 f(x) = 1/(x+1)。

根据最佳平方逼近的定义，我们需要找到一个多项式 p(x)，使得 f(x) - p(x) 垂直于 Φ 中的所有向量。即：

∫[0,1] (f(x) - p(x)) * 1 dx = ∫[0,1] (f(x) - p(x)) * x dx = ∫[0,1] (f(x) - p(x)) * x^2 dx = 0

我们可以使用最小二乘法来解决这个问题。具体来说，我们需要解下面的线性方程组：

⎡ ∫[0,1] 1^2 dx ∫[0,1] x^2 dx ∫[0,1] x^4 dx ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ ∫[0,1] f(x) dx ⎤
⎢ ∫[0,1] x^2 dx ∫[0,1] x^4 dx ∫[0,1] x^6 dx ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ ∫[0,1] f(x) x dx ⎥
⎣ ∫[0,1] x^4 dx ∫[0,1] x^6 dx ∫[0,1] x^8 dx ⎦ ⎣ c ⎦ ⎣ ∫[0,1] f(x) x^2 dx ⎦

其中，右侧的向量可以根据 f(x) 和 Φ 中的基函数计算得到。解出的系数 a、b、c 就是对应的多项式的系数。

对于区间 [0,π]，我们可以使用同样的方法来求解。具体来说，我们需要找到一个形如 p(x) = a + bx + cx^2 的多项式，使得 p(x) 对于 Φ=span{1, x, x^2} 最佳平方逼近 f(x) = sin(x)。

同样地，我们需要解下面的线性方程组：

⎡ ∫[0,π] 1^2 dx ∫[0,π] x^2 dx ∫[0,π] x^4 dx ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ ∫[0,π] f(x) dx ⎤
⎢ ∫[0,π] x^2 dx ∫[0,π] x^4 dx ∫[0,π] x^6 dx ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ ∫[0,π] f(x) x dx ⎥
⎣ ∫[0,π] x^4 dx ∫[0,π] x^6 dx ∫[0,π] x^8 dx ⎦ ⎣ c ⎦ ⎣ ∫[0,π] f(x) x^2 dx ⎦

其中，右侧的向量可以根据 f(x) 和 Φ 中的基函数计算得到。解出的系数 a、b、c 就是对应的多项式的系数。