MATLAB实现最佳平方逼近函数

"matlab最佳平方逼近" 在数值分析中，最佳平方逼近是一种寻找多项式函数，使其在指定区间上的误差平方和最小化的方法。这个概念通常用于近似复杂函数，以便于计算或分析。在本实验中，目标是找到函数f(x)=exp(x)在[-1,1]上的二阶和三阶最佳平方逼近多项式。 根据最佳平方逼近的定义，我们寻求一个多项式S*(x)，使得在给定区间[-1,1]上，函数f(x)与S*(x)之间的误差平方和达到最小。误差平方和可以用内积表示，即： \[ \int_{-1}^{1} [f(x) - S^*(x)]^2 dx \] 求解最佳平方逼近的问题可以转换为求解一组线性代数方程。设二阶逼近多项式为 \( S_2(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \)，三阶逼近多项式为 \( S_3(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \)。为了找到这些多项式的系数\( a_0, a_1, a_2, a_3 \)，我们需要让它们满足以下条件： \[ \int_{-1}^{1} f(x)\phi_j(x)dx = \int_{-1}^{1} S^*(x)\phi_j(x)dx \] 其中，\( \phi_j(x) \)是逼近函数系中的基函数，例如，对于二阶逼近，\( \phi_j(x) \)可以是常数、x、x^2，对于三阶逼近，还包括x^3。这里的\( j \)从0到n，n为多项式的阶数。 利用多元函数极值的必要条件，我们可以构建一个关于\( a_0, a_1, ..., a_n \)的线性方程组。具体来说，这涉及到计算基函数\( \phi_j(x) \)在区间[-1,1]上的积分，即： \[ \Phi_{ij} = \int_{-1}^{1} \phi_i(x)\phi_j(x)dx \] 这给出了系数矩阵\( \Phi \)。然后，我们有方程组： \[ \sum_{j=0}^{n} \Phi_{ij}a_j = \int_{-1}^{1} f(x)\phi_i(x)dx \] 这可以写成矩阵形式： \[ \Phi \mathbf{a} = \mathbf{b} \] 其中，\( \mathbf{a} \)是系数向量，\( \mathbf{b} \)是与\( f(x) \)的内积对应的目标向量。 由于系数矩阵\( \Phi \)是正定的，我们可以确保方程组有唯一解。通过求解这个方程组，我们就可以得到最佳平方逼近多项式的系数，从而构建出逼近函数S*(x)。 在MATLAB中，可以编写一个名为`squar_approx.m`的函数来实现这个过程。这个函数会计算逼近函数的系数，通过`quad`函数计算积分，并利用生成的系数矩阵和目标向量解决线性方程组。最终，根据所求的系数，我们可以得出最佳平方逼近多项式。 最佳平方逼近在许多领域都有应用，包括工程计算、信号处理和数值积分等。通过这种方法，我们可以对复杂函数进行有效的近似，简化计算过程，同时保持较高的精度。