多参数优化梯度下降法

### 多参数优化中的梯度下降法

#### 算法原理

在多参数优化场景下，梯度下降算法旨在最小化目标函数 \( J(\theta_0, \theta_1, ..., \theta_n) \)，其中 \( \theta_i \) 表示待优化的参数。该算法的核心在于迭代更新这些参数以逐步接近最优解。每次迭代过程中，按照负梯度方向调整各个参数值，从而确保损失函数逐渐减少。

对于多元线性回归或多层感知器这类涉及多个权重系数的情况，可以通过计算偏导数获得各维度上的变化趋势：

\[ \frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\Theta)=\lim_{h\to 0}\frac{J(\theta_0,\cdots ,\theta_j+h,\cdots )-J(\theta)}{h}, j=0,...n \]

基于上述理论，当面对高维空间内的数据集时，梯度向量包含了所有输入特征对应的梯度分量，指导着模型如何修正内部结构以便更精准地拟合样本分布[^1]。

#### 实现方法

为了有效执行多参数优化任务，下面给出Python环境下使用NumPy库完成批量梯度下降的一个简易版本：

import numpy as np

def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):
    m = len(y)
    J_history = []

    for i in range(num_iters):
        predictions = X.dot(theta)
        errors = np.subtract(predictions, y)
        sum_delta = (alpha / m) * X.transpose().dot(errors);
        theta -= sum_delta;
        
        cost = compute_cost(X, y, theta)
        J_history.append(cost)

    return theta, J_history

def compute_cost(X, y, theta):
    m = len(y)
    predictions = X.dot(theta)
    square_err = (predictions - y)**2
    
    return 1/(2*m) * np.sum(square_err)

此代码片段展示了如何构建一个多变量线性回归模型并对其进行训练的过程。`X`代表含有截距项在内的设计矩阵；`y`为目标响应列向量；`theta`初始化后的参数数组；`alpha`表示学习率超参；`num_iters`定义最大迭代次数[^3]。

#### 进阶技巧

针对大规模数据集或复杂非凸问题，单纯依赖标准形式可能会遭遇收敛速度慢等问题。为此引入了几种改进措施：

- **动量法**：借鉴物理运动惯性的概念，在原有基础上累加历史累积的速度因子，有助于穿越局部极小值区域。

- **Nesterov 加速梯度(NAG)** ：提前预估下一步位置再做校正，相比传统动量拥有更好的稳定性表现。

- **Adagrad/Adadelta/RMSprop**: 自适应调节个体元素的学习效率，特别适合稀疏特征处理场合。

- **Adam(Adaptive Moment Estimation)** : 综合了前两者的优势特性，成为当前主流框架默认配置之一[^4]。