随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型

中位数回归是一种非参数化的统计学习方法，它的目标是找到样本数据的中位数，从而得到最佳拟合直线。在绝对值损失函数下，中位数回归的线性优化模型为：

$$
\min_{b} \sum_{i=1}^{n} |y_i - x_i^T b|
$$

其中，$y_i$是观测样本的响应变量，$x_i$是观测样本的自变量，$b$是回归系数。

(ii) 求解中位数回归的线性优化模型

中位数回归的线性优化模型没有显式的解析解，可以通过迭代算法求解。一种常用的方法是通过线性规划来求解中位数回归模型。

具体地，可以将中位数回归模型转化为如下的线性规划问题：

$$
\min_{b,\epsilon} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \\
s.t.\quad y_i - x_i^T b \leq \epsilon_i,\quad i = 1,2,\cdots,n \\
\quad x_i^T b - y_i \leq \epsilon_i,\quad i = 1,2,\cdots,n \\
\quad \epsilon_i \geq 0,\quad i = 1,2,\cdots,n
$$

其中，$\epsilon_i$是松弛变量，$y_i - x_i^T b$表示样本点$i$的残差，$\epsilon_i$表示样本点$i$的残差与中位数之差的绝对值。

然后，可以使用线性规划算法求解上述问题，得到中位数回归模型的系数估计值$b$。

相关问题

随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型方程

中位数回归是一种非参数的回归方法，它的目标是找到一个中位数估计量，即使得损失函数的中位数最小化。在绝对值损失函数下，中位数估计量是中位数。

设样本量为n，观测样本为(x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn)，其中xi为p维随机向量，yi为标量。

中位数回归的线性优化模型方程为：

min ∑i=1^n |yi - b'xi|

其中b为回归系数，|·|表示绝对值。

这个模型可以用线性规划求解。具体来说，可以把绝对值拆成正负两部分，得到以下的线性规划模型：

min t

s.t. yi - b'xi ≤ t, i=1,...,n

yi - b'xi ≥ -t, i=1,...,n

其中t是辅助变量，用来表示中位数。这个模型的目标函数是最小化t，约束条件是保证每个样本的残差都不超过t。求解这个线性规划，即可得到中位数回归的系数估计。