随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型

中位数回归是一种非参数化的统计学习方法，它的目标是找到样本数据的中位数，从而得到最佳拟合直线。在绝对值损失函数下，中位数回归的线性优化模型为：

$$
\min_{b} \sum_{i=1}^{n} |y_i - x_i^T b|
$$

其中，$y_i$是观测样本的响应变量，$x_i$是观测样本的自变量，$b$是回归系数。

(ii) 求解中位数回归的线性优化模型

中位数回归的线性优化模型没有显式的解析解，可以通过迭代算法求解。一种常用的方法是通过线性规划来求解中位数回归模型。

具体地，可以将中位数回归模型转化为如下的线性规划问题：

$$
\min_{b,\epsilon} \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \\
s.t.\quad y_i - x_i^T b \leq \epsilon_i,\quad i = 1,2,\cdots,n \\
\quad x_i^T b - y_i \leq \epsilon_i,\quad i = 1,2,\cdots,n \\
\quad \epsilon_i \geq 0,\quad i = 1,2,\cdots,n
$$

其中，$\epsilon_i$是松弛变量，$y_i - x_i^T b$表示样本点$i$的残差，$\epsilon_i$表示样本点$i$的残差与中位数之差的绝对值。

然后，可以使用线性规划算法求解上述问题，得到中位数回归模型的系数估计值$b$。