随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数 b=(1,2,3,4….p), 考虑如下的线性回归模型 , y=bx+e (2) 其中随机误差项 e 与x 相互独立，且 e服从卡方（5）分布 .从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) 建立中位数回归的线性优化模型并且写出该线性优化模型的对偶优化模型并且用原内点对偶算法Python语言算出b的具体值

根据上面给出的中位数回归的线性优化模型，将绝对值函数改写为两个分段线性函数，得到等价的线性规划模型：

$$\min_B \sum_{i=1}^{n} \left(\epsilon_i^+ + \epsilon_i^-\right)$$

约束条件：

$$y_i - x_i^TB\leq \epsilon_i^+$$

$$x_i^TB - y_i\leq \epsilon_i^-$$

$$\epsilon_i^+ \geq 0,\epsilon_i^- \geq 0$$

其中，$\epsilon_i^+$和$\epsilon_i^-$分别表示误差的上限和下限。

对偶优化模型为：

$$\max_{\lambda\geq0,\mu} \left\{-\sum_{i=1}^{n}\lambda_i y_i - \mu\left(\frac{n}{2} - \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right) + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}\lambda_i x_{ij}^+ - \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{p}\lambda_i x_{ij}^-\right\}$$

其中，$x_{ij}^+$和$x_{ij}^-$分别表示$x_{ij}$的正值和负值。

下面给出使用原始内点对偶算法求解中位数回归的Python代码示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

# 生成数据
np.random.seed(123)
n = 100
p = 5
X = np.random.randn(n, p)
B = np.arange(1, p+1)
e = np.random.chisquare(5, n)
y = np.dot(X, B) + e

# 中位数回归的线性优化模型
c = np.hstack((np.zeros(p), np.ones(n), np.ones(n)))
A = np.vstack((np.hstack((X, -np.eye(n), np.zeros((n, n)))), 
              np.hstack((-X, np.zeros((n, n)), -np.eye(n)))))
b = np.hstack((y, -y))

res = linprog(c, A_eq=A, b_eq=b, method='interior-point')

# 输出结果
print(res.x[:p])

在上述代码中，我们使用了Scipy库中的线性规划函数`linprog`求解中位数回归的线性优化模型。其中，`method='interior-point'`表示使用原始内点法求解。最终输出的结果即为求解得到的回归系数估计值。