三次样条插值原理和计算公式是什么?
时间: 2023-12-24 08:59:38 浏览: 52
三次样条插值是一种常用的插值方法,它是通过一组已知的数据点来构造一个连续的、光滑的函数。其原理是在每两个相邻数据点之间用三次多项式来插值,使得插值函数在这些数据点处的函数值和一阶导数值都相等,从而保证了插值函数的平滑性和连续性。
下面是三次样条插值的计算公式:
假设有 $n+1$ 个数据点 $(x_i, y_i)$,其中 $i=0,1,2,...,n$,且 $x_0<x_1<...<x_n$。令 $h_i=x_{i+1}-x_i$,$i=0,1,2,...,n-1$,$f_i=y_i$,$i=0,1,2,...,n$,则三次样条插值函数 $S(x)$ 在 $[x_i,x_{i+1}]$ 区间内的表达式为:
$$S_i(x)=\frac{1}{6h_i}[(x_{i+1}-x)^3M_i+(x-x_i)^3M_{i+1}]+A_i(x-x_i)+B_i(x_{i+1}-x)$$
其中,$M_i$ 是插值函数在 $x_i$ 处的一阶导数值,$A_i$ 和 $B_i$ 是 $S_i(x)$ 在 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 处的函数值与一阶导数值之间的关系,它们可以通过以下公式计算:
$$A_i=\frac{1}{h_i}(y_{i+1}-y_i)-\frac{h_i}{6}(2M_i+M_{i+1})$$
$$B_i=\frac{1}{h_i}(y_i-y_{i-1})-\frac{h_i}{6}(M_i+2M_{i+1})$$
为了求解 $M_i$,需要满足以下两个条件:
1. 在插值区间 $[x_0,x_n]$ 的两端点处,插值函数的二阶导数值为零,即 $M_0=M_n=0$。
2. 在每个插值区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 内,插值函数的一阶导数值连续,即有 $S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$。
通过以上条件可以得到一个 $n-1$ 的线性方程组,解出 $M_1,M_2,...,M_{n-1}$ 即可。