Havel–Hakimi定理

Havel–Hakimi定理是一个关于简单图的度序列的定理。它可以描述如下：

如果一个非负整数序列 $d_1 \geq d_2 \geq \cdots \geq d_n$ 是一个简单图的度序列，那么可以通过一系列的度数减一操作，得到一个图。而这个图是唯一确定的，也就是说，在同构意义下只能确定一个图。

具体来说，我们可以按照如下步骤构造图：

1. 将给定的度序列从大到小排序。
2. 取出度数最大的顶点，将其与接下来的k个度数不为0的顶点相连，其中k为它的度数。
3. 对于剩下的序列，重复步骤1和2，直到得到一个图或者发现无法构造出合法的图为止。

需要注意的是，如果在构造过程中发现某个顶点的度数超过了图中总顶点数，或者剩下的序列无法构造出合法的图，则说明原始的度序列不是一个图的度序列。

证明这个定理可以通过归纳法来完成。具体来说，我们可以证明：如果一个非负整数序列是一个图的度序列，那么通过一次度数减一操作，得到的序列也是一个图的度序列。然后，通过对序列进行一系列的度数减一操作，可以得到一个空图，或者一个无法再进行度数减一操作的序列，即一个合法的图的度序列。

Havel–Hakimi定理在图论中有着广泛的应用，例如在图的匹配、色彩及网络流等领域都有着重要的作用。

相关问题

可简单图化Havel定理c++代码

Havel-Hakimi定理是一种用于判断一个序列是否能代表某个连通图的算法，它基于序列的排序规则。在C++中，你可以编写一个函数来检查一个序列是否满足Havel-Hakimi条件，如果满足则表示可以转化为一个连通图。下面是一个简化的实现：

#include <vector>
#include <algorithm>

bool havelHakimi(const std::vector<int>& sequence) {
    std::vector<int> degrees(sequence.size(), 0);
    bool is_connected = true;

    while (!degrees.empty()) {
        int largest_degree = -1;
        int max_degrees_index = -1;
        
        for (size_t i = 0; i < degrees.size(); ++i) {
            if (degrees[i] > largest_degree) {
                largest_degree = degrees[i];
                max_degrees_index = i;
            }
        }

        // 如果当前序列有一个节点的度大于1，则尝试移除边
        if (largest_degree > 1) {
            degrees[max_degrees_index]--;
            degrees[sequence[max_degrees_index] - 1]--;
        } else {
            // 当所有节点的度都不超过1时，表示无法形成连通图
            is_connected = false;
            break;
        }

        // 将剩余的节点按顺序放回
        while (max_degrees_index >= 1 && sequence[max_degrees_index] == 0) {
            sequence[max_degrees_index] = degrees.back();
            degrees.pop_back();
            max_degrees_index--;
        }
    }

    return is_connected;
}

std::vector<int> make_graph_sequence(size_t n) {
    // 例如，构造一个长度为n的序列，每个节点有n-1条边
    std::vector<int> sequence(n);
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        sequence[i] = n - 1;
    }
    return sequence;
}

int main() {
    auto sequence = make_graph_sequence(4); // 构造一个四节点的序列
    bool isValid = havelHakimi(sequence);
    if (isValid) {
        printf("The sequence represents a connected graph.\n");
    } else {
        printf("The sequence does not represent a connected graph.\n");
    }
    return 0;
}

这段代码首先生成一个序列，其中每个节点都有n-1条边。然后，它将按照Havel-Hakimi算法进行测试。如果最后能得到非空的`degrees`向量，那么说明序列可以构建一个连通图。

1、给定非负整数序列。2、判断此非负整数序列是否是可图化的，是否是可简单图化的。 3、请分别利用 Havel 定理（定理3）和埃尔德什定理（定理4）输出判断的过程与结果。4、如果可简单图化，请输出对应简单图的所有邻接矩阵，并判断该图是否连通。生成C++代码程序设计

给定一个非负整数序列，判断其是否可以表示为无向简单图的边集，通常需要满足两点：
1. 序列中的每个数都代表图的一条边，且每条边恰好连接两个节点。
2. 没有自环（即没有节点到自身的边），也没有重复的边。

Havel's Theorem (哈夫曼树定理) 提供了一种判断序列是否可构成哈夫曼树（最优二叉树）的方法。如果这个序列能够形成一个哈夫曼树，那么它就表示了一个简单的二叉树，而二叉树的边集就可以转化为简单图的边集。哈夫曼树定理表明，只有非递减序列才能构建哈夫曼树。

Erdős-Gallai 定理（埃尔德什定理）则描述了满足以下条件的序列才是可图化的：
- 序列长度n小于等于所有元素之和。
- 对于任意的k < n，序列中至多有k个连续的正整数。

如果你有一个非负整数序列，你可以按照以下步骤进行判断：

1. 判断序列是否违反了Erdős-Gallai定理。
2. 如果通过了，尝试构造哈夫曼树。对于给定的节点权重，使用贪心算法构建树并检查是否有自环或重复边。
- 遍历序列，将每个元素视为一棵初始大小为1的二叉树的成本。
- 选择成本最小的两棵树合并成新树，记录下新树的“左”子树和“右”子树，直到只剩下一棵树，这便是哈夫曼树。
- 如果过程中出现了相同的边（除了最开始的根节点），说明不可简单图化。

以下是简化的C++代码示例，用于判断并构建哈夫曼树：

#include <vector>
#include <algorithm>

bool havel_huffman(const std::vector<int>& weights) {
    if (!weights.empty()) {
        std::sort(weights.begin(), weights.end());
        return !has_duplicates(weights);
    }
    return true;
}

bool has_duplicates(const std::vector<int>& weights) {
    for (size_t i = 0; i < weights.size(); ++i) {
        if (i > 0 && weights[i] == weights[i - 1]) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

struct Edge {
    int from, to;
};

std::vector<Edge> build_huffman_tree(const std::vector<int>& weights) {
    // 实现哈夫曼树构建的具体算法...
    // 返回一个包含从节点i到节点j边的Edge结构体向量
}

int main() {
    std::vector<int> sequence = {1, 2, 3, 4, 5}; // 示例序列
    bool is_graphic = havel_huffman(sequence);

    if (is_graphic) {
        auto edges = build_huffman_tree(sequence);
        // 构建邻接矩阵并检查连通性
        std::vector<std::vector<bool>> adj_matrix(n, std::vector<bool>(n));
        // 根据edges填充adj_matrix...

        bool connected = isConnected(adj_matrix); // 自定义函数，判断图是否连通
        if (connected) {
            std::cout << "可简单图化，对应的邻接矩阵...\n";
            // 输出邻接矩阵
        } else {
            std::cout << "可简单图化，但图不连通。\n";
        }
    } else {
        std::cout << "不可图化。\n";
    }

    return 0;
}

注意：上述代码简化了关键部分如哈夫曼树构建和邻接矩阵填充，实际实现需要更详细的算法。同时，`isConnected`函数也需要你自己实现。