arima模型计算公式

ARIMA（差分自回归移动平均模型）是一种常用的时间序列分析方法，其计算公式如下：

ARIMA(p,d,q)模型中，

AR(p)表示自回归模型，p为自回归项数，公式为：$$Y_t=\sum_{i=1}^{p} \phi_i Y_{t-i} + \epsilon_t$$

MA(q)表示移动平均模型，q为移动平均项数，公式为：$$Y_t=\epsilon_t+\sum_{i=1}^{q} \theta_i \epsilon_{t-i}$$

其中，$\phi_i$和$\theta_i$为模型参数，$\epsilon_t$为白噪声误差项。

d为差分阶数，表示对时间序列进行d阶差分，以消除非平稳性。

ARIMA模型的预测公式为：$$\hat{Y}_{t+h|t}=Y_t+\sum_{i=1}^{p}\phi_i(Y_{t-i}-Y_{t-i-1})+\epsilon_t+\sum_{i=1}^{q}\theta_i\epsilon_{t-i}$$

其中，$\hat{Y}_{t+h|t}$为t时刻向后预测h步的预测值。

相关问题

arima模型总公式

### ARIMA模型的数学公式及其推导

ARIMA(p,d,q) 模型由三个主要部分构成：自回归（AR）、积分（I）和平滑移动平均（MA）。该模型适用于非平稳时间序列，在应用前通常需要通过差分使序列达到平稳状态。

对于给定的时间序列 \( y_t \)，ARIMA模型可以表达为：

\[ (1-\phi_1B - \cdots -\phi_p B^p)(1-B)^d Y_t = c + (1+\theta_1B + \cdots +\theta_q B^q)\epsilon_t \]

这里，
- \( p \) 表示自回归项的数量；
- \( d \) 表示为了使原系列变为稳定而做的差分次数；
- \( q \) 表示移动平均项的数量；
- \( B \) 是滞后算子，即\( BY_t=Y_{t-1} \)[^2]；
- \( \phi_i \) 和 \( \theta_j \) 分别代表AR和MA参数；
- \( \epsilon_t \) 为误差项，假设其服从独立同分布的标准正态分布 N(0,σ²)；

当对原始数据进行了 \( d \) 阶差分操作之后，如果所得的新序列为平稳，则可以直接在此基础上构建ARMA(p,q)模型。此时，

\[ (1-\phi_1L - ... - \phi_p L^p)y'_t=\mu+(1+\theta_1L+...+\theta_q L^q)a_t \]

其中 \( y'_t=(1-L)^dy_t \), 平稳化后的序列记作 \( y' \); 而 \( a_t \) 则是新的残差向量[^1]。

最后一步是对上述方程求解并反向转换回原来的尺度上获得最终预测值。这涉及到了逆差分运算以及利用估计出来的参数来计算未来的预期路径。

import statsmodels.api as sm

# 假设我们有一个时间序列 data_series
model = sm.tsa.ARIMA(data_series, order=(p, d, q))
results = model.fit()
forecast_values = results.forecast(steps=n_steps_ahead)

arima模型中的参数

### ARIMA模型参数详解

#### 自回归阶数 \( p \)

自回归项指的是当前观测值与过去若干个时间点上的观测值之间的关系。\( p \) 表示用于预测未来值的历史数据点数量，在数学表达上体现为滞后变量的数量。当设定较高的 \( p \)，意味着更远期的数据也会被纳入考量范围之内，这有助于捕捉长期趋势但同时也可能引入过多噪声。

对于如何选取合适的 \( p \)，通常依赖于实际应用场景以及通过统计测试如 AIC 或 BIC 准则来进行优化选择[^2]。

import statsmodels.api as sm

# 假设 data 是已有的时间序列数据集
model = sm.tsa.ARIMA(data, order=(p, d, q))
results = model.fit()
print(results.summary())

#### 差分阶数 \( d \)

差分操作是为了消除原始时间序列中的非平稳特性而采取的一种预处理手段。具体来说就是计算相邻两个时期之间数值变化量的过程。如果一次简单的差分无法使序列达到稳定状态，则需继续执行多次直到满足条件为止；此时所使用的次数即为 \( d \) 的取值。这一过程能够有效去除季节性和趋势成分的影响，使得后续建模更加可靠[^3]。

\[
\Delta y(t) = y(t) - y(t-1), ~(t = 0, 1, 2,\ldots)
\]

上述公式展示了最基础的一阶差分形式，其中 \( t \) 代表某个特定的时间戳位置。

#### 移动平均阶数 \( q \)

移动平均部分反映了随机误差项对未来观察值影响的程度。它假设过去的预测错误会对现在的结果造成一定冲击，并试图利用这种关联性提高预报精度。这里的 \( q \) 定义了考虑多少前期扰动因素作为输入特征参与运算。较低级别的 \( q \) 只会关注最近几次波动情况，而较大规模下则能覆盖更多历史信息。

为了验证构建好的 ARIMA 模型是否合理，还需要对其进行诊断评估工作，比如查看残差分布状况等：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(16, 12))
ax = results.resid.plot(kind='kde')
ax.set_title('Residuals Distribution');