【进阶篇】MATLAB中的时间序列预测：ARIMA模型

# 2.1 自回归移动平均模型（ARMA）

### 2.1.1 ARMA模型的数学表达式

ARMA模型是一种时间序列模型，它将时间序列表示为自回归（AR）过程和移动平均（MA）过程的组合。其数学表达式为：

X_t = c + ∑(i=1)^p φ_i X_(t-i) + ∑(j=1)^q θ_j ε_(t-j) + ε_t

其中：

* X_t：时间序列在时刻t的值
* c：常数项
* φ_i：AR过程的自回归系数，i = 1, 2, ..., p
* θ_j：MA过程的移动平均系数，j = 1, 2, ..., q
* ε_t：白噪声项，服从正态分布N(0, σ^2)

### 2.1.2 ARMA模型的参数估计

ARMA模型的参数（φ_i, θ_j, σ^2）可以通过最大似然估计（MLE）或最小二乘估计（LSE）进行估计。

**最大似然估计：**

L(φ, θ, σ^2) = -n/2 log(2πσ^2) - 1/2σ^2 ∑(t=1)^n ε_t^2

其中，ε_t是ARMA模型的残差。

**最小二乘估计：**

SSE(φ, θ) = ∑(t=1)^n (X_t - ∑(i=1)^p φ_i X_(t-i) - ∑(j=1)^q θ_j ε_(t-j))^2

通过最小化SSE可以估计出ARMA模型的参数。

# 2. ARIMA模型理论基础

### 2.1 自回归移动平均模型（ARMA）

#### 2.1.1 ARMA模型的数学表达式

自回归移动平均模型（ARMA）是一种时间序列模型，它将时间序列表示为过去值和误差项的线性组合。ARMA模型的数学表达式为：

Y_t = c + ∑(i=1 to p) φ_i * Y_(t-i) + ∑(j=1 to q) θ_j * ε_(t-j) + ε_t

其中：

* Y_t 表示时间序列在时刻 t 的值
* c 表示常数项
* p 表示自回归阶数，即过去 p 个值对当前值的影响
* q 表示移动平均阶数，即过去 q 个误差项对当前值的影响
* φ_i 和 θ_j 分别表示自回归系数和移动平均系数
* ε_t 表示白噪声误差项，即均值为 0，方差为 σ^2 的随机变量

#### 2.1.2 ARMA模型的参数估计

ARMA模型的参数可以通过极大似然估计（MLE）或最小二乘法（OLS）进行估计。MLE 方法通过最大化似然函数来估计参数，而 OLS 方法通过最小化残差平方和来估计参数。

### 2.2 自回归综合移动平均模型（ARIMA）

#### 2.2.1 ARIMA模型的数学表达式

自回归综合移动平均模型（ARIMA）是ARMA模型的推广，它通过对时间序列进行差分操作来消除非平稳性。ARIMA模型的数学表达式为：

(1 - B)^d * Y_t = c + ∑(i=1 to p) φ_i * (1 - B)^d * Y_(t-i) + ∑(j=1 to q) θ_j * ε_(t-j) + ε_t

其中：

* B 表示后移算子，即 B * Y_t = Y_(t-1)
* d 表示差分阶数，即 (1 - B)^d * Y_t = Y_t - Y_(t-d)
* 其他参数与 ARMA 模型相同

#### 2.2.2 ARIMA模型的参数估计

ARIMA模型的参数可以通过与 ARMA 模型相同的方法进行估计。然而，在进行参数估计之前，需要确定模型的差分阶数 d。差分阶数可以通过观察时间序列的平稳性来确定。

# 3. ARIMA模型在MATLAB中的实践

### 3.1 ARIMA模型的识别和参数估计

#### 3.1.1 使用autocorr和pacf函数识别模型

在识别ARIMA模型时，通常使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来分析时间序列数据的相关性。

- **自相关函数（ACF）：**衡量时间序列数据在不同滞后时间下的相关性。如果ACF在滞后时间k处显著，则表明数据在时间t和t+k之间存在相关性。
- **偏自相关函