【进阶篇】基于Matlab实现PSO算法

# 2.1 Matlab中PSO算法的数学模型

### 2.1.1 算法原理

粒子群优化算法（PSO）是一种受鸟群觅食行为启发的群体智能优化算法。在PSO算法中，每个粒子代表一个潜在的解决方案，粒子群则代表所有潜在解决方案的集合。粒子通过不断更新其位置和速度来搜索最优解。

粒子的速度和位置更新公式如下：

v(i+1) = w * v(i) + c1 * r1 * (pBest(i) - x(i)) + c2 * r2 * (gBest - x(i))
x(i+1) = x(i) + v(i+1)

其中：

* `v(i)` 表示第 `i` 个粒子的速度
* `x(i)` 表示第 `i` 个粒子的位置
* `w` 表示惯性权重
* `c1` 和 `c2` 表示学习因子
* `r1` 和 `r2` 表示 [0, 1] 范围内的随机数
* `pBest(i)` 表示第 `i` 个粒子的历史最优位置
* `gBest` 表示整个粒子群的历史最优位置

# 2. Matlab中PSO算法实现基础

### 2.1 Matlab中PSO算法的数学模型

#### 2.1.1 算法原理

粒子群优化（PSO）算法是一种基于群体智能的优化算法，其灵感来源于鸟群觅食行为。在PSO算法中，每个粒子代表一个潜在的解决方案，群体中的所有粒子共同搜索最优解。

PSO算法的数学模型如下：

v_i(t+1) = w * v_i(t) + c1 * r1 * (pbest_i(t) - x_i(t)) + c2 * r2 * (gbest(t) - x_i(t))
x_i(t+1) = x_i(t) + v_i(t+1)

其中：

* `v_i(t)`：粒子`i`在时刻`t`的速度
* `w`：惯性权重，控制粒子速度的变化
* `c1`和`c2`：学习因子，控制粒子向自身最优解和群体最优解学习的程度
* `r1`和`r2`：均匀分布的随机数，取值范围[0, 1]
* `pbest_i(t)`：粒子`i`在时刻`t`的个人最优解
* `gbest(t)`：群体在时刻`t`的全局最优解
* `x_i(t)`：粒子`i`在时刻`t`的位置

#### 2.1.2 算法参数

PSO算法的关键参数包括：

| 参数 | 含义 | 取值范围 |
|---|---|---|
| `w` | 惯性权重 | [0, 1] |
| `c1` | 自身学习因子 | [0, 2] |
| `c2` | 群体学习因子 | [0, 2] |
| `r1`和`r2` | 随机数 | [0, 1] |
| `max_iter` | 最大迭代次数 | 正整数 |
| `pop_size` | 粒子群规模 | 正整数 |

### 2.2 Matlab中PSO算法的代码框架

#### 2.2.1 算法初始化

% 初始化参数
w = 0.729;
c1 = 1.49445;
c2 = 1.49445;
max_iter = 100;
pop_size = 30;

% 初始化粒子群
particles = zeros(pop_size, d);
for i = 1:pop_size
    particles(i, :) = lb + (ub - lb) .* rand(1, d);
end

% 初始化粒子最优解和群体最优解
pbest = particles;
gbest = min(particles);

#### 2.2.2 算法迭代

% 迭代优化
for iter = 1:max_iter
    % 更新粒子速度和位置
    for i = 1:pop_size
        v_i = w * v_i + c1 * r1 * (pbest_i - x_i) + c2 * r2 * (gbest - x_i);
        x_i = x_i + v_i;
    end

    % 更新粒子最优解和群体最优解
    for i = 1:pop_size
        if f(x_i) < f(pbest_i)
            pbest_i = x_i;
        end
    end
    gbest = min(pbest);
end

#### 2.2.3 算法收敛判断

% 判断算法是否收敛
if abs(gbest(iter) - gbest(iter-1)) < tol
    break;
end

# 3. Matlab中PSO算法实践应用

### 3.1 Matlab中PSO算法求解经典函数

在这一节中，我们将使用Matlab中PSO算法来求解两个经典函数：Rosenbrock函数和Rastrigin函数。这些函数通常用于测试优化算法的性能。

#### 3.1.1 Rosenbrock函数

Rosenbrock函数是一个非凸函数，其数学表达式为：

f(x, y) = 100 * (y - x^2)^2 + (1 - x)^2

其中，x和y是自变量。

**代码块：**

% 参数设置
num_particles = 100;  % 粒子数量
max_iter = 100;    % 最大迭代次数
c1 = 2;             % 个体学习因子
c2 = 2;             % 群体学习因子
w = 0.5;            % 惯性权重

% 初始化粒子群
particles = rand(num_particles, 2) * 10 - 5;  % 粒子位置范围[-5, 5]
velocities = zeros(num_particles, 2);  % 粒子速度

% 迭代优化
for iter = 1:max_iter
    % 计算适应度值
    fitness = 100 * (particles(:, 2) - particles(:, 1).^2).^2 + (1 - particles(:, 1)).^2;
    % 更新个体最优位置和速度
    for i = 1:num_particles
        if fitness(i) < particles(i, 3)
            particles(i, 3:4) = particles(i, 1:2);
        end
    end
    % 更新群体最优位置
    [~, best_idx] = min(fitness);
    gbest = particles(best_idx, :);
    % 更新粒子速度和位置
    for i = 1:num_particles
        velocities(i