【进阶篇】高级优化算法：MATLAB中的内点法和对偶方法

# 2.1 内点法的基本原理

内点法是一种优化算法，用于求解线性规划、二次规划和非线性规划等优化问题。其基本原理是通过一系列迭代，将可行域不断缩小，最终逼近最优解。

内点法将优化问题转化为一组等价的障碍问题，其中障碍函数是一个凸函数，随着迭代次数的增加，障碍函数逐渐消失，从而逼近最优解。障碍函数的引入保证了算法在可行域内部进行迭代，避免了陷入不可行解。

# 2. 内点法理论与实践

### 2.1 内点法的基本原理

内点法是一种求解线性规划问题的迭代算法，其基本思想是在可行域内部进行迭代，逐步逼近最优解。内点法的核心在于维护一个可行域的中心点，并通过一系列迭代步骤，将中心点移动到最优解附近。

内点法的主要步骤如下：

1. **初始化：**选择一个可行域内的初始中心点，并设置一个初始步长。
2. **方向搜索：**计算一个搜索方向，使得沿该方向移动可以减少目标函数值。
3. **步长选择：**确定一个合适的步长，使得沿搜索方向移动后仍然保持可行性。
4. **中心点更新：**沿搜索方向移动中心点，并更新步长。
5. **终止条件：**当中心点满足一定的终止条件时，停止迭代，输出最优解。

### 2.2 内点法的算法流程

内点法的算法流程如下：

graph LR
subgraph 内点法算法流程
    init[初始化] --> dir[方向搜索] --> step[步长选择] --> update[中心点更新]
    update --> dir
    dir --> step
    step --> update
    update --> stop[终止条件]
end

### 2.3 内点法的MATLAB实现

% 内点法求解线性规划问题
function [x, fval] = interior_point(f, A, b, lb, ub)
    % 初始化
    n = size(A, 2);
    x0 = (lb + ub) / 2;
    t0 = 1;
    mu = 1e-6;
    % 迭代
    while true
        % 方向搜索
        d = -inv(A' * A + mu * diag(x0)) * (A' * f + mu * (x0 - lb) - mu * (ub - x0));
        % 步长选择
        alpha = 1;
        while (x0 + alpha * d) >= lb & (x0 + alpha * d) <= ub
            alpha = alpha * 2;
        end
        alpha = alpha / 2;
        % 中心点更新
        x0 = x0 + alpha * d;
        t0 = t0 / a