【进阶篇】逻辑回归（Logistic)的Matlab实现

# 2.1 逻辑函数和概率解释

逻辑函数（也称为 sigmoid 函数）是一个 S 形曲线，其数学表达式为：

f(x) = 1 / (1 + e^(-x))

它将实数映射到 0 到 1 之间的概率值。在逻辑回归模型中，逻辑函数用于将输入特征映射到二分类问题的概率。

具体来说，给定输入特征 x，逻辑函数计算事件发生的概率 p：

p = f(w^T x + b)

其中 w 是权重向量，b 是偏置项。概率 p 表示事件发生的可能性，而 1 - p 表示事件不发生的可能性。

# 2. 逻辑回归模型的数学原理

### 2.1 逻辑函数和概率解释

逻辑回归模型的核心是逻辑函数，它将输入值映射到 0 到 1 之间的概率值。逻辑函数的数学表达式为：

f(x) = 1 / (1 + e^(-x))

其中，x 为输入值。

逻辑函数的图像如下图所示：

[Image of Logistic Function Graph]

逻辑函数具有以下性质：

- 当 x 趋近于无穷大时，f(x) 趋近于 1。
- 当 x 趋近于负无穷大时，f(x) 趋近于 0。
- f(x) 的导数为 f(x) * (1 - f(x))。

在逻辑回归模型中，逻辑函数用于将输入特征与输出概率联系起来。给定一个输入特征向量 x，逻辑回归模型预测输出 y 的概率为：

P(y = 1 | x) = f(w^T x + b)

其中，w 为权重向量，b 为偏置项。

### 2.2 对数似然函数和最大似然估计

逻辑回归模型的参数 w 和 b 通过最大似然估计 (MLE) 方法进行估计。MLE 的目标是找到一组参数，使给定数据集的似然函数最大化。

对于逻辑回归模型，似然函数为：

L(w, b) = ∏[P(y_i | x_i)]^y_i * [1 - P(y_i | x_i)]^(1 - y_i)

其中，y_i 为第 i 个样本的真实标签，x_i 为第 i 个样本的特征向量。

取似然函数的对数，得到对数似然函数：

l(w, b) = ∑[y_i * log(P(y_i | x_i)) + (1 - y_i) * log(1 - P(y_i | x_i))]

MLE 的目标是找到一组参数 w 和 b，使对数似然函数最大化。这可以通过使用梯度下降或牛顿法等优化算法来实现。

### 2.3 模型参数的求解方法

逻辑回归模型参数的求解方法有多