【进阶篇】MATLAB中的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）拟合

# 1. 马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）简介

马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）是一种强大的采样方法，用于从复杂的概率分布中生成样本。它基于马尔可夫链的理论，其中每个状态都取决于其前一个状态，但与其他状态无关。在MCMC中，马尔可夫链用于探索概率分布，并通过蒙特卡罗模拟生成样本。

MCMC算法的优点在于，它可以处理高维和复杂分布，这些分布对于其他采样方法来说可能是不可行的。此外，MCMC样本可以用来近似后验分布，这在贝叶斯统计中非常有用。

# 2. MCMC在MATLAB中的实现

### 2.1 MATLAB中的MCMC工具箱

#### 2.1.1 基本功能和使用方法

MATLAB提供了强大的MCMC工具箱，包含一系列用于MCMC采样的函数和工具。这些工具箱可以简化MCMC算法的实现，并提供高效的采样方法。

要使用MCMC工具箱，需要先安装Statistics and Machine Learning Toolbox。安装后，可以通过以下步骤使用工具箱：

1. 加载工具箱：`>> toolbox('stats')`
2. 创建MCMC对象：`>> mcmc = mcmc('name', 'MetropolisHastings')`
3. 设置采样参数：`>> mcmc.Parameters.NumIterations = 1000`
4. 运行采样：`>> samples = mcmc.sample()`

#### 2.1.2 常见采样算法

MCMC工具箱提供了多种常见的采样算法，包括：

- Metropolis-Hastings算法
- 吉布斯采样算法
- 独立 Metropolis-Hastings算法
- 自适应 Metropolis算法

这些算法可以通过设置`'name'`参数来选择。例如，要使用Metropolis-Hastings算法，可以设置`>> mcmc = mcmc('name', 'MetropolisHastings')`。

### 2.2 自定义MCMC算法

除了使用MCMC工具箱，还可以自定义MCMC算法。这提供了更大的灵活性，可以实现更复杂的采样方案。

#### 2.2.1 Metropolis-Hastings算法

Metropolis-Hastings算法是一种通用的MCMC算法，适用于各种分布。其基本步骤如下：

1. 从当前状态`x`生成候选状态`x'`。
2. 计算候选状态的接受概率：`alpha = min(1, p(x'|x) / p(x|x'))`。
3. 根据接受概率接受或拒绝候选状态。

MATLAB代码如下：

function [samples, acceptanceRate] = metropolisHastings(targetPDF, initialState, numIterations)
    % 初始化
    samples = zeros(numIterations, 1);
    acceptanceRate = 0;
    % 当前状态
    x = initialState;
    for i = 1:numIterations
        % 生成候选状态
        xPrime = generateCandidate(x);
        % 计算接受概率
        alpha = min(1, targetPDF(xPrime) / targetPDF(x));