【进阶篇】MATLAB求解常微分方程

# 1. 常微分方程基础**

常微分方程（ODE）是描述未知函数对自变量导数关系的方程。一阶常微分方程的形式为 y' = f(x, y)，其中 y' 表示 y 对 x 的导数。高阶常微分方程的形式为 y^(n) = f(x, y, y', ..., y^(n-1))，其中 y^(n) 表示 y 对 x 的 n 阶导数。

# 2. MATLAB求解常微分方程的理论

### 2.1 常微分方程的类型和求解方法

**2.1.1 一阶常微分方程**

一阶常微分方程的一般形式为：

y' = f(x, y)

其中：

* `y` 是未知函数，`x` 是自变量
* `f(x, y)` 是已知函数

求解一阶常微分方程的方法有：

* **分离变量法：**将方程两边关于 `x` 和 `y` 的项分离，然后积分得到隐式解。
* **齐次方程法：**对于齐次方程 `y' = g(y/x)`，令 `v = y/x`，则方程化为 `v' = h(v)`，求解 `v` 即可。
* **积分因子法：**对于非齐次方程 `y' + p(x)y = q(x)`，令 `μ(x) = e^(∫p(x)dx)`，则方程化为 `(μy)' = μq(x)`，求解 `μy` 即可。

### 2.1.2 高阶常微分方程

高阶常微分方程的一般形式为：

y^(n) + a_{n-1}y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = f(x)

其中：

* `y` 是未知函数，`x` 是自变量
* `a_i` 是常数
* `f(x)` 是已知函数

求解高阶常微分方程的方法有：

* **特征方程法：**求解特征方程 `r^n + a_{n-1}r^(n-1) + ... + a_1r + a_0 = 0` 的根，根据根的类型构造解。
* **变系数法：**对于非齐次方程，先求解齐次方程，再构造一个特定解，最后将齐次解和特定解相加得到通解。
* **拉普拉斯变换法：**将方程两边拉普拉斯变换，得到代数方程，求解代数方程后进行逆拉普拉斯变换得到解。

### 2.2 数值解法

对于一些无法解析求解的常微分方程，可以使用数值方法进行求解。

**2.2.1 显式方法**

显式方法直接使用当前时刻的值计算下一时刻的值，如：

* **欧拉法：**

y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)

* **改进欧拉法（中点法）：**

y_{n+1} = y_n + h * f(x_n + h/2, y_n + h/2 * f(x_n, y_n))

**2.2.2 隐式方法**

隐式方法将下一时刻的值作为方程的未知数，如：

* **后向欧拉法：**

y_{n+1} = y_n + h * f(x_{n+1}, y_{n+1})

* **隐式中点法：**

y_{n+1} = y_n + h * f(x_n + h/2, (y_n + y_{n+1})/2)

**2.2.3 Runge-Kutta方法**

Runge-Kutta方法是一种高阶显式方法，如：

* **RK4方法（经典Runge-Kutta方法）：**

k_1 = h * f(x_n, y_n)
k_2