【基础】matlab中多元线性回归及regress函数精确剖析

# 1. 多元线性回归概述**

多元线性回归是一种统计建模技术，用于预测一个连续型因变量（目标变量）与多个自变量（预测变量）之间的线性关系。与简单的线性回归不同，多元线性回归允许模型包含多个自变量，从而更全面地描述因变量的变化。

多元线性回归模型的数学形式为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y 是因变量
* x1, x2, ..., xn 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* ε 是误差项

# 2. 多元线性回归理论**

多元线性回归是一种统计建模技术，用于预测一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间的线性关系。它扩展了简单线性回归，允许同时考虑多个自变量。

**2.1 线性回归模型**

**2.1.1 模型建立**

多元线性回归模型的数学形式如下：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε

其中：

* y 是因变量
* x1, x2, ..., xn 是自变量
* β0 是截距项
* β1, β2, ..., βn 是自变量的回归系数
* ε 是误差项

**2.1.2 参数估计**

回归系数β可以通过最小二乘法估计，即找到使误差平方和（SSE）最小的系数。SSE 定义为：

SSE = Σ(yi - ŷi)^2

其中：

* yi 是因变量的实际值
* ŷi 是因变量的预测值

**2.2 模型评估**

**2.2.1 拟合优度**

拟合优度衡量模型对数据的拟合程度。常用的指标包括：

* 决定系数（R^2）：表示模型解释数据变异的百分比。
* 调整决定系数（Adjusted R^2）：考虑自变量数量对 R^2 的影响。

**2.2.2 预测能力**

预测能力衡量模型预测新数据的准确性。常用的指标包括：

* 均方根误差（RMSE）：表示预测值与实际值之间的平均差异。
* 平均绝对误差（MAE）：表示预测值与实际值之间的平均绝对差异。

**2.3 假设检验**

**2.3.1 参数显著性检验**

参数显著性检验用于确定自变量是否对因变量有显著影响。t 检验和 p 值用于评估每个回归系数的显著性。

**2.3.2 模型显著性检验**

模型显著性检验用于确定整个模型是否对数据有显著影响。F 检验和 p 值用于评估模型的整体拟合度。

# 3. 多元线性回归实践

### 3.1 数据准备

#### 3.1.1 数据收集

多元线性回归模型的建立需要收集相关的数据。数据收集的来源可以是内部数据、外部数据或两者结合。

**内部数据：**来自企业内部的数据库、业务系统或其他数据源。例如，销售数据、客户数据、生产数据等。

**外部数据：**来自公开的数据集、市场调研或其他外部来源。例如，行业报告、人口统计数据、经济指标等。

#### 3.1.2 数据预处理

收集到的数据通常需要进行预处理，以确保数据的质量和可用性。数据预处理的主要步骤包括：

* **数据清洗：**去除缺失值、异常值和错误数据。
* **数据转换：**将数据转换为适合模型分析的格式，例如标准化或归一化。
* **特征工程：**创建新的特征或转换现有特征，以提高模型的预测能力。

### 3.2 模型建立

#### 3.2.1 regress函数的使用

在 MATLAB 中，可以使用 `regress` 函数建立多元线性回归模型。`regress` 函数的语法如下：

[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X)

其中：

* `y`：因变量向量
* `X`：自变量矩阵
* `b`：回归系数向量
* `bint`：回归系数的置信区间
* `r`：相关系数
* `rint`：相关系数的置信区间
* `stats`：模型统计信息，包括 F 统计量、p 值、R 平方值等

#### 3.2.2 模型参数解读

`regress` 函数输出的回归系数向量 `b` 表示