【基础】回归预测模型：MATLAB多项式回归

# 2.1 多项式回归模型

多项式回归模型是一种用于拟合非线性关系的回归模型。它通过使用多项式函数来表示因变量和自变量之间的关系，从而可以捕获更复杂的非线性模式。

多项式回归模型的一般形式为：

y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n + ε

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* n 是多项式的阶数
* ε 是误差项

多项式回归模型通过最小化误差项的平方和来估计模型参数。这可以通过使用最小二乘法原理来实现。

# 2. 多项式回归理论基础

### 2.1 多项式回归模型

多项式回归是一种非线性回归模型，它将因变量建模为自变量的多项式函数。一般形式如下：

y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n + ε

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* n 是多项式的阶数
* ε 是误差项，表示模型无法解释的因变量中的变化

### 2.2 最小二乘法原理

多项式回归模型的参数估计通常使用最小二乘法原理。该原理旨在找到一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的平方差最小。

数学上，最小二乘法目标函数为：

S = Σ(yi - ŷi)^2

其中：

* yi 是实际观测值
* ŷi 是模型预测值

最小化 S 意味着找到一组参数，使得模型与观测数据之间的拟合程度最佳。

**参数估计过程**

最小二乘法参数估计过程涉及以下步骤：

1. 构建范德蒙德矩阵 X，其元素为：

Xij = xi^j

2. 计算伪逆矩阵 X+：

X+ = (X'X)^-1X'

3. 求解参数向量 β：

β = X+y

其中 y 是因变量的观测值向量。

**代码示例**

以下 MATLAB 代码演示了如何使用最小二乘法估计多项式回归模型的参数：

% 数据准备
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 4, 8, 16, 32];

% 模型拟合
n = 2; % 多项式阶数
X = vander(x, n + 1);
beta = pinv(X) * y;

% 模型预测
x_new = 6;
y_pred = beta(1) + beta(2) * x_new + beta(3) * x_new^2;

% 打印结果
fprintf('参数估计值：\n');
disp(beta);
fprintf('预测值：%.2f\n', y_pred);

**代码逻辑分析**

* `vander` 函数创建范德蒙德矩阵 X。
* `pinv` 函数计算伪逆矩阵 X+。
* `beta` 变量存储估计的参数向量。
* `y_pred` 变量存储新数据点 x_new 的预测值。

# 3.1 数据准备和导入

在进行多项式回归之前，需要对数据进行准备和导入。数据准备包括以下步骤：

- **数据收集：**收集与回归变量相关的历史数据。确保数据准确且完整。
- **数据清洗：**处理缺失值、异常值和不一致的数据。缺失值可以使用插值或删除来处理，异常值可以通过阈值或转换来处理。
- **数据转换：**将数据转换为适合回归分析的格式。例如，将分类变量转换为哑变量。
- **数据标准化：**对数据进行标准化或归一化，以确保所有变量具有相同的尺度。这有助于提高回归模型的稳定性和准确性。

MATLAB 中的数据导入可以通过以下方式实现：

% 从 CSV 文件导入数据
data = csvread('data.csv');

% 从 Excel 文件导入数据
dat