【基础】回归预测模型:MATLAB多项式回归
发布时间: 2024-05-22 12:36:57 阅读量: 78 订阅数: 171
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# 2.1 多项式回归模型
多项式回归模型是一种用于拟合非线性关系的回归模型。它通过使用多项式函数来表示因变量和自变量之间的关系,从而可以捕获更复杂的非线性模式。
多项式回归模型的一般形式为:
```matlab
y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n + ε
```
其中:
* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* n 是多项式的阶数
* ε 是误差项
多项式回归模型通过最小化误差项的平方和来估计模型参数。这可以通过使用最小二乘法原理来实现。
# 2. 多项式回归理论基础
### 2.1 多项式回归模型
多项式回归是一种非线性回归模型,它将因变量建模为自变量的多项式函数。一般形式如下:
```
y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n + ε
```
其中:
* y 是因变量
* x 是自变量
* β0, β1, ..., βn 是模型参数
* n 是多项式的阶数
* ε 是误差项,表示模型无法解释的因变量中的变化
### 2.2 最小二乘法原理
多项式回归模型的参数估计通常使用最小二乘法原理。该原理旨在找到一组参数,使得模型预测值与实际观测值之间的平方差最小。
数学上,最小二乘法目标函数为:
```
S = Σ(yi - ŷi)^2
```
其中:
* yi 是实际观测值
* ŷi 是模型预测值
最小化 S 意味着找到一组参数,使得模型与观测数据之间的拟合程度最佳。
**参数估计过程**
最小二乘法参数估计过程涉及以下步骤:
1. 构建范德蒙德矩阵 X,其元素为:
```
Xij = xi^j
```
2. 计算伪逆矩阵 X+:
```
X+ = (X'X)^-1X'
```
3. 求解参数向量 β:
```
β = X+y
```
其中 y 是因变量的观测值向量。
**代码示例**
以下 MATLAB 代码演示了如何使用最小二乘法估计多项式回归模型的参数:
```matlab
% 数据准备
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2, 4, 8, 16, 32];
% 模型拟合
n = 2; % 多项式阶数
X = vander(x, n + 1);
beta = pinv(X) * y;
% 模型预测
x_new = 6;
y_pred = beta(1) + beta(2) * x_new + beta(3) * x_new^2;
% 打印结果
fprintf('参数估计值:\n');
disp(beta);
fprintf('预测值:%.2f\n', y_pred);
```
**代码逻辑分析**
* `vander` 函数创建范德蒙德矩阵 X。
* `pinv` 函数计算伪逆矩阵 X+。
* `beta` 变量存储估计的参数向量。
* `y_pred` 变量存储新数据点 x_new 的预测值。
# 3.1 数据准备和导入
在进行多项式回归之前,需要对数据进行准备和导入。数据准备包括以下步骤:
- **数据收集:**收集与回归变量相关的历史数据。确保数据准确且完整。
- **数据清洗:**处理缺失值、异常值和不一致的数据。缺失值可以使用插值或删除来处理,异常值可以通过阈值或转换来处理。
- **数据转换:**将数据转换为适合回归分析的格式。例如,将分类变量转换为哑变量。
- **数据标准化:**对数据进行标准化或归一化,以确保所有变量具有相同的尺度。这有助于提高回归模型的稳定性和准确性。
MATLAB 中的数据导入可以通过以下方式实现:
```
% 从 CSV 文件导入数据
data = csvread('data.csv');
% 从 Excel 文件导入数据
dat
```
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