【进阶篇】稀疏矩阵技术：MATLAB中的存储优化和计算方法

# 2.1 稀疏矩阵存储格式

稀疏矩阵存储格式是针对稀疏矩阵特点而设计的，旨在以高效的方式存储和访问非零元素。常用的稀疏矩阵存储格式包括：

- **压缩行存储（CSR）**：将稀疏矩阵按行存储，每个行由三个数组表示：行索引数组（rows）、列索引数组（cols）和值数组（vals）。其中，rows 存储每行的起始位置，cols 存储每行非零元素的列索引，vals 存储非零元素的值。

- **压缩列存储（CSC）**：与 CSR 类似，CSC 按列存储稀疏矩阵。它由三个数组组成：列索引数组（cols）、行索引数组（rows）和值数组（vals）。其中，cols 存储每列的起始位置，rows 存储每列非零元素的行索引，vals 存储非零元素的值。

- **哈希表存储**：使用哈希表存储稀疏矩阵，其中键为元素的坐标，值为元素的值。这种格式允许快速访问单个元素，但对于大型稀疏矩阵来说，存储开销可能很大。

# 2. 稀疏矩阵存储优化

### 2.1 稀疏矩阵存储格式

稀疏矩阵存储格式旨在高效地表示稀疏矩阵，以最大限度地减少存储空间和计算时间。最常用的格式包括：

#### 2.1.1 压缩行存储（CSR）

CSR格式将稀疏矩阵存储为三个数组：

- 行指针数组：存储每行的起始位置。
- 列索引数组：存储每个非零元素的列索引。
- 值数组：存储每个非零元素的值。

# 创建 CSR 格式稀疏矩阵
import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
rows = np.array([0, 0, 1, 1, 2])
cols = np.array([0, 2, 0, 1, 0])
A = csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(3, 3))

# 打印 CSR 格式稀疏矩阵
print(A)

**参数说明：**

- `data`: 非零元素值的一维数组。
- `rows`: 非零元素所在行的索引的一维数组。
- `cols`: 非零元素所在列的索引的一维数组。
- `shape`: 稀疏矩阵的形状。

**代码逻辑分析：**

CSR格式将稀疏矩阵存储为三个数组，每个数组存储特定信息。`data`数组存储非零元素的值，`rows`数组存储非零元素所在行的索引，`cols`数组存储非零元素所在列的索引。通过使用行指针数组，可以快速访问每行的非零元素。

#### 2.1.2 压缩列存储（CSC）

CSC格式与CSR格式类似，但将稀疏矩阵存储为三个数组：

- 列指针数组：存储每列的起始位置。
- 行索引数组：存储每个非零元素的行索引。
- 值数组：存储每个非零元素的值。

**代码示例：**

# 创建 CSC 格式稀疏矩阵
from scipy.sparse import csc_matrix

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
rows = np.array([0, 0, 1, 1, 2])
cols = np.array([0, 2, 0, 1, 0])
A = csc_matrix((data, (rows, cols)), shape=(3, 3))

# 打印 CSC 格式稀疏矩阵
print(A)

**参数说明：**

- `data`: 非零元素值的一维数组。
- `rows`: 非零元素所在行的索引的一维数组。
- `cols`: 非零元素所在列的索引的一维数组。
- `shape`: 稀疏矩阵的形状。

**代码逻辑分析：**

CSC格式将稀疏矩阵存储为三个数组，每个数组存储特定信息。`data`数组存储非零元素的值，`rows`数组存储非零元素所在行的索引，`cols`数组存储非零元素所在列的索引。通过使用列指针数组，可以快速访问每列的非零元素。

#### 2.1.3 哈希表存储

哈希表存储格式将稀疏矩阵存储为一个哈希表，其中键是元组`(row, col)`，值是非零元素的值。这种格式适用于非零元素分布高度不规则的稀疏矩阵。

**代码示例：**

# 创建哈希表格式稀疏矩阵
from collections import defaultdict

A = defaultdict(lambda: 0)
A[(0, 0)] = 1
A[(0, 2)] = 2
A[(1, 0)] = 3
A[(1, 1)] = 4
A[(2, 0)] = 5

# 访问非零元素
print(A[(0, 0)])

**参数说明：**

- `A`: 哈希表格式稀疏矩阵。
- `(row, col)`: 非零元素所在行的索引和列的索引。

**代码逻辑分析：**

哈希表存储格式将稀疏矩阵存储为一个哈希表，其中键是元组`(row, col)`，值是非零元素的值。通过使用哈希表，可以快速访问非零元素，即使非零元素分布高度不规则。

### 2.2 存储优化算法

#### 2.2.1 顺序排序

顺序排序算法将稀疏矩阵的非零元素按行或列排序。这可以提高矩阵乘法和求逆等操作的性能。

**代码